Determine o produto misto dos vetores \vec{u}=-2 \vec{i}-2 \vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3 \vec{j}-\vec{k} \mathrm{e} \vec{w}=2 \vec{i}+\vec{j}-3 \vec{k}.
Resp.: (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=-29.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u} = (-2,\,-2,\,-1), \vec{v} = (1,\,-3,\,-1) e \vec{w} = (2,\,1,\,-3)
e pede o produto misto (\vec u,\vec v,\vec w).
Para isso, usamos a definição
(\vec u,\vec v,\vec w) \;=\;\vec u\cdot(\vec v\times\vec w).

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial \vec v\times\vec w pela matriz dos determinantes:
\vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\\ 1 & -3 & -1\\\\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 10\,\vec{i} + 1\,\vec{j} + 7\,\vec{k}.

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec u com esse resultado:
\vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = (-2)\cdot 10 \;+\; (-2)\cdot 1 \;+\; (-1)\cdot 7 = -20 - 2 - 7 = -29.

Resposta

-29

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