Calcular a área entre o arco da hipociclóide \left\{\begin{array}{l}x=3 \cos ^{3} t \\\ y=3 \operatorname{sen}^{3} t\end{array}, t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right. e a reta x+y=3.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região fechada entre o arco paramétrico
\begin{cases} x=3\cos^{3}t\\[4pt] y=3\sin^{3}t \end{cases},\qquad t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]
e a reta
x+y=3.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O arco dado por \big(x(t),y(t)\big)=(3\cos^{3}t,\,3\sin^{3}t) vai de t=0 até t=\tfrac{\pi}{2}.
  • Para t=0 temos o ponto (3,0) e para t=\tfrac{\pi}{2} temos o ponto (0,3). (Estou pegando esses dados diretamente da parametrização.)
  • A reta x+y=3 passa por (3,0) e (0,3), portanto a região pedida é a que fica entre o arco da curva que liga (3,0) a (0,3) e o segmento da reta que une esses dois pontos.
  • A tarefa é determinar a área dessa região.]

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação): uma maneira prática e elegante de achar a área de uma região limitada por uma curva paramétrica e uma reta é usar a fórmula de área em termos de integral de linha
\text{Área}=\frac{1}{2}\oint_{C}\big(x\,dy - y\,dx\big),Á
onde C é o contorno fechado da região, percorrido com uma orientação (o resultado dá a área assinada; tomamos valor absoluto se necessário). Essa fórmula vem de uma forma simples do Teorema de Green e é muito útil quando uma das partes do contorno é uma curva parametrizada. Aqui o contorno C será composto por duas partes:
  • C_1: o arco paramétrico da curva dado por t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (vai de (3,0) a (0,3));
  • C_2: o segmento da reta x+y=3 que volta de (0,3) a (3,0).
    Vou calcular separadamente as contribuições de C_1 e C_2 para a integral \oint_C (x\,dy-y\,dx).

Passo 3

Fórmula para aplicar e o que cada termo significa:
  • Se uma curva é dada por x=x(t), y=y(t) para t num intervalo, então dx = x'(t)\,dt e dy = y'(t)\,dt.
  • Na integral de linha usamos o integrando x\,dy-y\,dx, que para parametrização em t fica
x\,dy-y\,dx = \big(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\big)\,dt.
Portanto para C_1 calculamos \displaystyle\int_{t_0}^{t_1}\big(xy'-yx'\big)\,dt. Para C_2 parametricamente fazemos a mesma coisa com a variável do segmento.

Passo 4

Parametrização de C_1 (o arco) e cálculo das derivadas:
  • Para o arco C_1 usamos diretamente a parametrização dada:
x(t)=3\cos^{3}t,\qquad y(t)=3\sin^{3}t,\qquad t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
  • Calculamos x'(t) e y'(t) usando regra da cadeia e potência:
    • x'(t)=3\cdot 3\cos^{2}t\cdot(-\sin t) = -9\cos^{2}t\sin t.
    • y'(t)=3\cdot 3\sin^{2}t\cdot\cos t = 9\sin^{2}t\cos t.

Passo 5

Montar o integrando x\,y'-y\,x' para C_1 e simplificar passo a passo:
\begin{aligned} x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t) &= \big(3\cos^{3}t\big)\big(9\sin^{2}t\cos t\big) - \big(3\sin^{3}t\big)\big(-9\cos^{2}t\sin t\big)\\[6pt] &= 27\cos^{4}t\sin^{2}t + 27\sin^{4}t\cos^{2}t\\[6pt] &= 27\cos^{2}t\sin^{2}t\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big)\\[6pt] &= 27\cos^{2}t\sin^{2}t, \end{aligned}
onde usei \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.]

Passo 6

Avaliar a integral sobre C_1:
\int_{C_1} (x\,dy-y\,dx)=\int_{0}^{\pi/2} 27\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt.
Para integrar \cos^{2}t\sin^{2}t usamos a identidade \sin^{2}t\cos^{2}t=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2t) e depois \sin^{2}u=\tfrac{1-\cos(2u)}{2}:
\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2}27\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt &=27\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{4}\sin^{2}(2t)\,dt = \frac{27}{4}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(2t)\,dt\\[6pt] &= \frac{27}{4}\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(4t)}{2}\,dt = \frac{27}{8}\Big[t-\tfrac{1}{4}\sin(4t)\Big]_{0}^{\pi/2}. \end{aligned}
Como \sin(4t) vale 0 em t=0 e em t=\tfrac{\pi}{2}, o termo com \sin(4t) some, sobrando
\int_{C_1}(x\,dy-y\,dx)=\frac{27}{8}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{27\pi}{16}.]

Passo 7

Parametrização de C_2 (o segmento da reta) e cálculo da integral:
  • Parametrizo o segmento da reta que vai de (0,3) a (3,0) (essa é a segunda parte do contorno que fecha a região). Tomemos s\in[0,3] e
x(s)=s,\qquad y(s)=3-s,\qquad s\in[0,3],
que corresponde ao ponto (x,y)=(0,3) quando s=0 e a (3,0) quando s=3.
  • Então dx=ds e dy=-ds.
  • O integrando fica
x\,dy-y\,dx = s(-ds)-(3-s)(ds)=(-s-3+s)\,ds = -3\,ds.
  • Integrando de s=0 a s=3,
\int_{C_2}(x\,dy-y\,dx)=\int_{0}^{3}(-3)\,ds = -9.

Passo 8

Somar as contribuições das duas partes e aplicar a fórmula da área:
\oint_{C}(x\,dy-y\,dx)=\int_{C_1}(x\,dy-y\,dx)+\int_{C_2}(x\,dy-y\,dx)=\frac{27\pi}{16}-9.
A fórmula da área dá a área assinada como
\text{Área assinada}=\frac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy-y\,dx)=\frac{1}{2}\Big(\frac{27\pi}{16}-9\Big).Á
O valor obtido é negativo (porque a orientação escolhida produz área assinada negativa), e a área física que queremos é positiva: portanto tomamos o módulo. Assim
\text{Área}=\frac{1}{2}\Big(9-\frac{27\pi}{16}\Big)=\frac{9}{2}-\frac{27\pi}{32}.Á

Passo 9

Interpretação final e verificação rápida:
  • A resposta está em forma exata. Se você quiser um valor aproximado para conferir, podemos calcular numericamente:
    \dfrac{9}{2}-\dfrac{27\pi}{32}\approx 1{,}8493, ou seja, a região tem área aproximadamente 1{,}85.
  • Tudo está consistente: a área é positiva e relativamente pequena, como esperado para a região entre o arco da astroida e a reta.

Resposta

\dfrac{9}{2}-\dfrac{27\pi}{32}

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