Calcular a área entre o arco da hipociclóide
e a reta
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região fechada entre o arco paramétrico
e a reta
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O arco dado por
vai de até . - Para
temos o ponto e para temos o ponto . (Estou pegando esses dados diretamente da parametrização.) - A reta
passa por e , portanto a região pedida é a que fica entre o arco da curva que liga a e o segmento da reta que une esses dois pontos. - A tarefa é determinar a área dessa região.]
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivação): uma maneira prática e elegante de achar a área de uma região limitada por uma curva paramétrica e uma reta é usar a fórmula de área em termos de integral de linha
onde
é o contorno fechado da região, percorrido com uma orientação (o resultado dá a área assinada; tomamos valor absoluto se necessário). Essa fórmula vem de uma forma simples do Teorema de Green e é muito útil quando uma das partes do contorno é uma curva parametrizada. Aqui o contorno
será composto por duas partes:
-
: o arco paramétrico da curva dado por (vai de a ); -
: o segmento da reta que volta de a .
Vou calcular separadamente as contribuições dee para a integral .
Passo 3
Fórmula para aplicar e o que cada termo significa:
- Se uma curva é dada por
, para num intervalo, então e . - Na integral de linha usamos o integrando
, que para parametrização em fica
Portanto para
calculamos
. Para
parametricamente fazemos a mesma coisa com a variável do segmento.
Passo 4
Parametrização de
(o arco) e cálculo das derivadas:
- Para o arco
usamos diretamente a parametrização dada:
- Calculamos
e usando regra da cadeia e potência: -
Passo 5
Montar o integrando
para
e simplificar passo a passo:
onde usei
.]
Passo 6
Avaliar a integral sobre
:
Para integrar
usamos a identidade
e depois
:
Como
vale
em
e em
, o termo com
some, sobrando
Passo 7
Parametrização de
(o segmento da reta) e cálculo da integral:
- Parametrizo o segmento da reta que vai de
a (essa é a segunda parte do contorno que fecha a região). Tomemos e
que corresponde ao ponto
quando
e a
quando
.
- Então
e . - O integrando fica
- Integrando de
a ,
Passo 8
Somar as contribuições das duas partes e aplicar a fórmula da área:
A fórmula da área dá a área assinada como
O valor obtido é negativo (porque a orientação escolhida produz área assinada negativa), e a área física que queremos é positiva: portanto tomamos o módulo. Assim
Passo 9
Interpretação final e verificação rápida:
- A resposta está em forma exata. Se você quiser um valor aproximado para conferir, podemos calcular numericamente:
, ou seja, a região tem área aproximadamente . - Tudo está consistente: a área é positiva e relativamente pequena, como esperado para a região entre o arco da astroida e a reta.