Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
4. a=3 i+3 j-3 k, b=3 i-3 j+3 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial atimesb, onde
a=3,i+3,j-3,k e b=3,i-3,j+3,k,
e mostrar que esse vetor é ortogonal a a e a b. Vamos usar a definição de produto vetorial via determinante e depois verificar ortogonalidade com produto escalar.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante:
atimesb = i & j & k 3 & 3 & -3 3 & -3 & 3

Passo 3

Calculando as componentes:
– Componente em i: 3cdot3 - (-3)cdot(-3)=9-9=0.
– Componente em j: 3cdot3 - (-3)cdot3=9+9=18, mas há o sinal “–” do termo do meio, então fica -18.
– Componente em k: 3cdot(-3)-3cdot3=-9-9=-18.
Assim,
atimesb =0,i-18,j-18,k =(0,,-18,,-18)

Passo 4

Para verificar ortogonalidade, calculamos os produtos escalares:
acdot(atimesb) =3cdot0+3cdot(-18)+(-3)cdot(-18) =0-54+54=0,
bcdot(atimesb) =3cdot0+(-3)cdot(-18)+3cdot(-18) =0+54-54=0
Como ambos os produtos escalares são zero, atimesb é ortogonal a a e a b.

Resposta

atimesb=(0,,-18,,-18),
e de fato acdot(atimesb)=0 e bcdot(atimesb)=0, mostrando ortogonalidade.

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