Determine o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v} em cada caso.
\vec{u}=(5,1,4) e \vec{v}=(-1,0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial entre os vetores \vec{u} e \vec{v}. As informações dadas são:
\vec{u}=(5,1,4),\qquad \vec{v}=(-1,0,2).
A tarefa é determinar \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 2

O que é o produto vetorial (de um jeito rápido e amigável): o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta em outro vetor que é perpendicular (ortogonal) aos dois originais, com direção dada pela regra da mão direita e com módulo igual à área do paralelogramo formado por eles. Para calcular suas componentes usamos a fórmula padrão componente a componente:
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\big).
Aqui u_{1},u_{2},u_{3} são as componentes de \vec{u} (respectivamente as componentes x,y,z) e v_{1},v_{2},v_{3} são as componentes de \vec{v}.

Passo 3

Identifico as componentes dos vetores dados:
u_{1}=5,\quad u_{2}=1,\quad u_{3}=4,
v_{1}=-1,\quad v_{2}=0,\quad v_{3}=2.
Vou calcular a primeira componente de \vec{u}\times\vec{v}, que é u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}:
u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}=1\cdot 2 - 4\cdot 0 = 2 - 0 = 2.

Passo 4

Agora a segunda componente, que é u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}:
u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}=4\cdot(-1) - 5\cdot 2 = -4 - 10 = -14.

Passo 5

Agora a terceira componente, que é u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}:
u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=5\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 0 + 1 = 1.

Passo 6

Reunindo as três componentes, o produto vetorial é
\vec{u}\times\vec{v}=(2,-14,1).
Como checagem rápida: o resultado deve ser ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. Faço os produtos escalares para verificar:
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=5\cdot 2 + 1\cdot (-14) + 4\cdot 1 = 10 -14 +4 = 0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=(-1)\cdot 2 + 0\cdot(-14) + 2\cdot 1 = -2 + 0 +2 = 0.
Ambos são zero, então o vetor obtido é realmente perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}, como esperado.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=(2,-14,1)

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