Determine o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v} em cada caso. \vec{u}=\vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k} e \vec{v}=-\vec{i}+5 \vec{k}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o produto vetorial entre os vetores dados. Informações fornecidas:
\vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}
\vec{v}=-\vec{i}+5\vec{k}
Vou usar as componentes dos vetores para facilitar os cálculos. Das expressões acima obtemos
\vec{u}=(1,\,3,\,-2)
\vec{v}=(-1,\,0,\,5)
Passo 2
O que é o produto vetorial (de forma prática)? É um vetor perpendicular aos dois vetores dados, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles. Uma forma prática de calcular é usar o determinante com os versores \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} (no caso 1,3,-2) e v_1,v_2,v_3 são as componentes de \vec{v} (no caso -1,0,5). Vou expandir esse determinante explicando cada passo.
Para ter certeza de que fizemos certo, fazemos uma checagem simples: o produto vetorial deve ser ortogonal a ambos os vetores, então o produto escalar com cada um deve dar zero.