Determine o produto vetorial \vec{u} \times \vec{v} em cada caso.
\vec{u}=\vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k} e \vec{v}=-\vec{i}+5 \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o produto vetorial entre os vetores dados. Informações fornecidas:
\vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}
\vec{v}=-\vec{i}+5\vec{k}
Vou usar as componentes dos vetores para facilitar os cálculos. Das expressões acima obtemos
\vec{u}=(1,\,3,\,-2)
\vec{v}=(-1,\,0,\,5)

Passo 2

O que é o produto vetorial (de forma prática)? É um vetor perpendicular aos dois vetores dados, com magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles. Uma forma prática de calcular é usar o determinante com os versores \vec{i},\vec{j},\vec{k}:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} (no caso 1,3,-2) e v_1,v_2,v_3 são as componentes de \vec{v} (no caso -1,0,5). Vou expandir esse determinante explicando cada passo.

Passo 3

Substituindo as componentes no determinante:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 1 & 3 & -2 \\\\ -1 & 0 & 5 \end{vmatrix}
Agora expandimos pela primeira linha (regra de Sarrus / expansão por cofatores):
\vec{u}\times\vec{v} = \vec{i}\cdot\begin{vmatrix}3 & -2 \\[4pt] 0 & 5\end{vmatrix} - \vec{j}\cdot\begin{vmatrix}1 & -2 \\[4pt] -1 & 5\end{vmatrix} + \vec{k}\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] -1 & 0\end{vmatrix}]

Passo 4

Calculemos cada determinante 2\times2 separadamente:
\begin{vmatrix}3 & -2 \\[4pt] 0 & 5\end{vmatrix} = 3\cdot 5 - (-2)\cdot 0 = 15 - 0 = 15,
\begin{vmatrix}1 & -2 \\[4pt] -1 & 5\end{vmatrix} = 1\cdot 5 - (-2)\cdot(-1) = 5 - 2 = 3,
\begin{vmatrix}1 & 3 \\[4pt] -1 & 0\end{vmatrix} = 1\cdot 0 - 3\cdot(-1) = 0 - (-3) = 3.]

Passo 5

Substituindo esses valores na expansão obtemos:
\vec{u}\times\vec{v} = 15\vec{i} - 3\vec{j} + 3\vec{k}.
Podemos também fatorar 3 se quisermos uma forma alternativa:
\vec{u}\times\vec{v} = 3\bigl(5\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}\bigr).

Passo 6

Para ter certeza de que fizemos certo, fazemos uma checagem simples: o produto vetorial deve ser ortogonal a ambos os vetores, então o produto escalar com cada um deve dar zero.
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = 1\cdot 15 + 3\cdot(-3) + (-2)\cdot 3 = 15 - 9 - 6 = 0,
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = (-1)\cdot 15 + 0\cdot(-3) + 5\cdot 3 = -15 + 0 + 15 = 0.
As duas somas deram 0, confirmando que o resultado está ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.

Resposta

\;15\vec{i}-3\vec{j}+3\vec{k}

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