Determine o produto vetorial u wed>= v e verifique que u wed>= v perp u e u wed>= v perp v, em que
u=2 j-4 k e v=-i+3 j+k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial uwed>=v e mostrar que ele é perpendicular a u e a v. O conteúdo da matéria é o produto vetorial em R^3 e a propriedade de ortogonalidade: um vetor resultante de utimesv é ortogonal tanto a u quanto a v.

Passo 2

Vamos escrever as coordenadas de cada vetor:
u = 2,j -4,k = (0,2,-4), v = -,i +3,j +1,k = (-1,3,1)
O produto vetorial é dado pelo determinante de:
uwed>=v = i & j & k 0 & 2 & -4 -1 & 3 & 1

Passo 3

Calculando cada componente:
uwed>=v = l(2cdot1 - (-4)cdot3r),i + l((-4)cdot(-1) - 0cdot1r),j + l(0cdot3 - 2cdot(-1)r),k
= (2 +12),i + (4 -0),j + (0+2),k = 14,i +4,j +2,k

Passo 4

Para verificar a ortogonalidade calculamos os produtos escalares:
ucdot(uwed>=v) = (0,2,-4)cdot(14,4,2) = 0cdot14 + 2cdot4 + (-4)cdot2 = 8 -8 = 0,
vcdot(uwed>=v) = (-1,3,1)cdot(14,4,2) = -1cdot14 + 3cdot4 + 1cdot2 = -14 +12 +2 = 0
Como ambos são zero, uwed>=v é perpendicular a u e a v.

Resposta

uwed>=v = 14,i +4,j +2,k,
e de fato
ucdot(uwed>=v)=0
e
vcdot(uwed>=v)=0,
mostrando a ortogonalidade.

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