Determine o produto vetorial u wed>= v e verifique que u wed>= v perp u e u wed>= v perp v, em que
u=t i+cos t j+sen t k e v=i-sen t j+cos t k.

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial de dois campos vetoriais em R^3,
u = t,i + cos t,j + sen t,k, v = i - sen t,j + cos t,k,
e requer também mostrar que uwed>= v é perpendicular a u e a v. O conteúdo usado será a definição de produto vetorial via determinante e a propriedade de que um vetor é perpendicular a outro se seu produto escalar for zero.

Passo 2

Para calcular
uwed>= v = i & j & k t & cos t & sen t 1 & -sen t & cos t ,
desenvolvemos por cofatores na primeira linha:
uwed>= v = il(cos tcdot cos t - sen tcdot(-sen t)r) - jl(tcdot cos t - sen tcdot 1r) + kl(tcdot(-sen t) - cos tcdot 1r)
Usando cos^2 t+sen^2 t=1, obtemos
uwed>= v = icdot1 - jl(tcos t - sen tr) + kl(-tsen t - cos tr),
isto é,
uwed>= v = l(1,;sen t - tcos t,;-,tsen t - cos tr)

Passo 3

Verificamos a perpendicularidade computando os produtos escalares:
ucdot(uwed>= v) = tcdot1 + cos tl(sen t - tcos tr) + sen tl(-tsen t - cos tr)
Agrupando termos:
= t + cos t,sen t - tcos^2 t - tsen^2 t - sen t,cos t = t - t(cos^2 t+sen^2 t) = t - t = 0
E
vcdot(uwed>= v) = 1cdot1 + (-sen t)l(sen t - tcos tr) + cos tl(-tsen t - cos tr)
= 1 - sen^2 t + tsen tcos t - tsen tcos t - cos^2 t = 1 - (sen^2 t+cos^2 t) = 1 - 1 = 0

Resposta

uwed>= v = l(1,;sen t - tcos t,;-,tsen t - cos tr),
e de fato uwed>= vperp u e uwed>= vperp v pois os produtos escalares são nulos.

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