Determine a projeção ortogonal projv u e calcule o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
(b) u=(1,0) e v=(1,1);

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de vec u=(1,0) sobre vec v=(1,1) e o ângulo entre eles. Vamos usar produto escalar e norma de vetores.

Passo 2

Para calcular a projeção ortogonal usamos a fórmula
projvec vvec u = vec ucdot vec vvec vcdot vec v,vec v
Como vec ucdot vec v = 1cdot1 + 0cdot1 = 1 e vec vcdot vec v = 1^2 + 1^2 = 2, segue que
projvec vvec u = 12,(1,1) = l(tfrac12,tfrac12r)

Passo 3

Para o ângulo theta entre os vetores usamos
costheta = vec ucdot vec v|vec u||vec v|
Como |vec u| = 1 e |vec v| = raiz2, temos costheta = tfrac1raiz2 = tfracraiz22, portanto
theta = pi4

Resposta

projvec vvec u = l(tfrac12,tfrac12r)
theta = tfracpi4

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