Determine a projeção ortogonal projv u e calcule o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
(c) u=(1,1) e v=(-1,1);

Passo 1

O enunciado dá u=(1,1) e v=(-1,1) em R^2 e pede (1) a projeção ortogonal de u sobre v e (2) o ângulo entre u e v. Para isso, vamos usar:
– Fórmula da projeção ortogonal
projvec v,vec u = vec ucdot vec vvec vcdot vec v,vec v
– Fórmula do cosseno do ângulo
costheta = vec ucdot vec v|vec u|;|vec v|

Passo 2

Calcular os produtos internos e normas:
vec ucdot vec v = (1)(-1)+(1)(1)= -1+1=0,
vec vcdot vec v = (-1)^2+1^2=1+1=2,
|vec u|=raiz1^2+1^2=raiz2, |vec v|=raiz(-1)^2+1^2=raiz2

Passo 3

Aplicar a fórmula da projeção:
projvec v,vec u = vec ucdot vec vvec vcdot vec v,vec v = 02,(-1,1) = (0,0)
Isto ocorre porque vec uperp vec v.

Passo 4

Calcular o ângulo usando o cosseno:
costheta = vec ucdot vec v|vec u|;|vec v| = 0raiz2,raiz2 =0 Longrightarrow theta = arccos(0)=pi2

Resposta

A projeção ortogonal é (0,0) e o ângulo entre vec u e vec v é pi2 (ou 90^circ).

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