Determine a projeção ortogonal projv u e calcule o ângulo entre u e v nos seguintes casos:
(a) u=(2,2) e v=(0,2);

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de u=(2,2) sobre v=(0,2) e o ângulo entre esses vetores. Vamos usar o produto escalar para obter a projeção, com a fórmula
projvu = ucdotvvcdotv,v,
e depois calcular o ângulo via
costheta = ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Primeiro calculemos ucdotv e vcdotv:
ucdotv = (2,2)cdot(0,2) = 2cdot0 + 2cdot2 = 4,
vcdotv = (0,2)cdot(0,2) = 0^2 + 2^2 = 4
Substituindo na fórmula da projeção:
projvu = 44,(0,2) = 1cdot(0,2) = (0,2)

Passo 3

Agora o ângulo. Calculamos primeiro as normas:
|u| = raiz2^2+2^2 = raiz8 = 2raiz2,
|v| = raiz0^2+2^2 = 2
Logo
costheta = 4(2raiz2)cdot2 = 44raiz2 = 1raiz2
Isso dá
theta = arccos!l(tfrac1raiz2r) = pi4

Resposta

A projeção ortogonal é projvu=(0,2) e o ângulo entre u e v é theta=tfracpi4 (ou 45^circ).

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