Encontre
se
em
.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por dois vetores e pede o complemento ortogonal
. As informações relevantes são:
A pergunta é: determinar todos os vetores de
que são ortogonais a todo vetor de
, isto é, encontrar
.
Passo 2
Definição e ideia prática: um vetor
pertence a
se e somente se
é ortogonal a cada gerador de
. Ortogonalidade em
usa o produto interno (produto escalar). Para dois vetores
e
temos
A condição "
é ortogonal a
" significa
. Assim, para achar
basta impor
e
onde
e
.
Passo 3
Escolho um vetor genérico
com
desconhecidos. Imponho as condições de ortogonalidade com os geradores:
e
Passo 4
Calculo explicitamente os produtos escalares e escrevo o sistema:
Portanto o sistema a resolver é
Passo 5
Resolvendo o sistema por substituição: da primeira equação vem
e da segunda vem
Não há nenhuma equação que restrinja
, então tomo
como parâmetro livre. Seja
e ponho
. Assim
Passo 6
Interpretação final: todos os vetores de
são múltiplos escalares de
. Como
, isso descreve uma reta (subespaço unidimensional) em
. Isso faz sentido também pelo fato de
ser gerado por dois vetores (espera-se
se os geradores forem linearmente independentes), de modo que
.