Encontre U^{\perp} se U=\operatorname{ger}\{(1,0,-2),(0,1,3)\} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço U\subset\mathbb{R}^3 gerado por dois vetores e pede o complemento ortogonal U^{\perp}. As informações relevantes são:
U=\operatorname{ger}\{(1,0,-2),(0,1,3)\}.
A pergunta é: determinar todos os vetores de \mathbb{R}^3 que são ortogonais a todo vetor de U, isto é, encontrar U^{\perp}.

Passo 2

Definição e ideia prática: um vetor v\in\mathbb{R}^3 pertence a U^{\perp} se e somente se v é ortogonal a cada gerador de U. Ortogonalidade em \mathbb{R}^3 usa o produto interno (produto escalar). Para dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) temos
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
A condição " v é ortogonal a u " significa v\cdot u = 0. Assim, para achar U^{\perp} basta impor v\cdot u_1=0 e v\cdot u_2=0 onde u_1=(1,0,-2) e u_2=(0,1,3).

Passo 3

Escolho um vetor genérico
v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
com x,y,z desconhecidos. Imponho as condições de ortogonalidade com os geradores:
v\cdot(1,0,-2)=0
e
v\cdot(0,1,3)=0.

Passo 4

Calculo explicitamente os produtos escalares e escrevo o sistema:
(x,y,z)\cdot(1,0,-2)=x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot(-2)=x-2z=0,
(x,y,z)\cdot(0,1,3)=x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 3 = y+3z=0.
Portanto o sistema a resolver é
\begin{cases} x-2z=0,\\[4pt] y+3z=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema por substituição: da primeira equação vem
x=2z,
e da segunda vem
y=-3z.
Não há nenhuma equação que restrinja z, então tomo z como parâmetro livre. Seja t\in\mathbb{R} e ponho z=t. Assim
v=(x,y,z)=(2t,-3t,t)=t(2,-3,1).

Passo 6

Interpretação final: todos os vetores de U^{\perp} são múltiplos escalares de (2,-3,1). Como (2,-3,1)\neq(0,0,0), isso descreve uma reta (subespaço unidimensional) em \mathbb{R}^3. Isso faz sentido também pelo fato de U ser gerado por dois vetores (espera-se \dim U=2 se os geradores forem linearmente independentes), de modo que \dim U^{\perp}=3-\dim U=1.

Resposta

U^{\perp}=\operatorname{ger}\{(2,-3,1)\}

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