Determine ou prove que não existe os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o limite
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para provar que esse limite existe e vale um certo valor, vamos usar desigualdades para estimar numerador e denominador e mostrar que a expressão tende a zero.
Passo 2
Primeiro, observamos que
porque claramente . Então o denominador satisfaz
Passo 3
Agora, vamos controlar o numerador em valor absoluto. Note que
pela desigualdade entre média geométrica e média aritmética. Elevando ao cubo,
Logo,
Passo 4
Com esses resultados, estimamos o valor absoluto da função:
À medida que (x,y)to(0,0), temos x^2+y^2to0, então
3(x^2+y^2)^28to0
Pelo Teorema do Confronto, a fração dada também tende a zero.