Determine ou prove que não existe os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) 3 x^3 y^32 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o limite
lim(x,y)to(0,0) 3x^3y^32x^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e, para provar que esse limite existe e vale um certo valor, vamos usar desigualdades para estimar numerador e denominador e mostrar que a expressão tende a zero.

Passo 2

Primeiro, observamos que
2x^2+y^2>= x^2+y^2
porque claramente 2x^2>= x^2. Então o denominador satisfaz
2x^2+y^2>= x^2+y^2

Passo 3

Agora, vamos controlar o numerador em valor absoluto. Note que
|x y|<= x^2+y^22
pela desigualdade entre média geométrica e média aritmética. Elevando ao cubo,
|x^3y^3|=|x y|^3<= l(x^2+y^22r)^3=(x^2+y^2)^38
Logo,
|3x^3y^3|<= 3(x^2+y^2)^38

Passo 4

Com esses resultados, estimamos o valor absoluto da função:
|3x^3y^32x^2+y^2| <= 3(x^2+y^2)^3/8x^2+y^2 =3(x^2+y^2)^28
À medida que (x,y)to(0,0), temos x^2+y^2to0, então
3(x^2+y^2)^28to0
Pelo Teorema do Confronto, a fração dada também tende a zero.

Passo 5

Concluímos assim que o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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