Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
Passo 1
O enunciado define um sistema discreto pela equação
Precisamos testar três propriedades clássicas de sistemas LTI em sinais discretos:
- linearidade, 2) invariância no tempo e 3) causalidade.
Passo 2
Para verificar a linearidade, use a definição de superposição. Seja
com saída
e
com saída
, ou seja,
Considere a entrada composta
. A saída será
Por outro lado, a combinação linear das saídas seria
Para ser linear, precisaríamos ter
para todo
, o que exigiria
o que é falso. Alternativamente, note que se
então
, violando a propriedade de homogeneidade.
Portanto, o sistema não é linear.
Portanto, o sistema não é linear.
Passo 3
Para testar invariância no tempo, aplique um atraso
. Seja
com saída
. Então
Se fosse invariante no tempo, deveríamos ter
Como
para
, concluímos que o sistema não é invariante no tempo.
Passo 4
Para verificar causalidade, observe que
depende apenas de
e de uma constante. O argumento
é sempre menor ou igual a
, ou seja, o sistema não usa valores futuros de
. A adição da constante
não envolve nenhum valor futuro de
.
Logo, o sistema é causal.
Logo, o sistema é causal.
Resposta
O sistema
não é linear, não é invariante no tempo e é causal.