Determine e prove se as seguintes funções são lineares, invariantes no tempo e causais:
y(n)=(n+3) x(n-2)+3

Passo 1

O enunciado define um sistema discreto pela equação
y(n) \;=\;(n+3)\,x(n-2)+3.
Precisamos testar três propriedades clássicas de sistemas LTI em sinais discretos:
  1. linearidade, 2) invariância no tempo e 3) causalidade.

Passo 2

Para verificar a linearidade, use a definição de superposição. Seja x_1(n) com saída y_1(n) e x_2(n) com saída y_2(n), ou seja,
y_1(n)=(n+3)\,x_1(n-2)+3,\quad y_2(n)=(n+3)\,x_2(n-2)+3.
Considere a entrada composta x(n)=\alpha\,x_1(n)+\beta\,x_2(n). A saída será
y(n) =(n+3)\bigl[\alpha\,x_1(n-2)+\beta\,x_2(n-2)\bigr]+3 =\alpha\,(n+3)x_1(n-2)+\beta\,(n+3)x_2(n-2)+3.
Por outro lado, a combinação linear das saídas seria
\alpha\,y_1(n)+\beta\,y_2(n) =\alpha\bigl[(n+3)x_1(n-2)+3\bigr] +\beta\bigl[(n+3)x_2(n-2)+3\bigr] =\alpha\,(n+3)x_1(n-2)+\beta\,(n+3)x_2(n-2)+3(\alpha+\beta).
Para ser linear, precisaríamos ter y(n)=\alpha\,y_1(n)+\beta\,y_2(n) para todo \alpha,\beta, o que exigiria
3 \;=\;3(\alpha+\beta)\quad\forall\,\alpha,\beta,
o que é falso. Alternativamente, note que se x(n)\equiv0 então y(n)=3\neq0, violando a propriedade de homogeneidade.
Portanto, o sistema não é linear.

Passo 3

Para testar invariância no tempo, aplique um atraso n_0. Seja x'(n)=x(n-n_0) com saída y'(n). Então
y'(n)=(n+3)\,x'(n-2)+3 =(n+3)\,x(n-n_0-2)+3.
Se fosse invariante no tempo, deveríamos ter
y'(n)\;=\;y(n-n_0) =\bigl[(n-n_0)+3\bigr]\,x\bigl((n-n_0)-2\bigr)+3 =(n-n_0+3)\,x(n-n_0-2)+3.
Como (n+3)\neq(n-n_0+3) para n_0\neq0, concluímos que o sistema não é invariante no tempo.

Passo 4

Para verificar causalidade, observe que y(n) depende apenas de x(n-2) e de uma constante. O argumento n-2 é sempre menor ou igual a n, ou seja, o sistema não usa valores futuros de x. A adição da constante 3 não envolve nenhum valor futuro de x.
Logo, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y(n)=(n+3)x(n-2)+3 não é linear, não é invariante no tempo e é causal.

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