Determine se as seguintes funções são periódicas, e caso afirmativo, indique o período:
x(n)=\frac{5 \sqrt{2}}{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(\frac{n \pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência discreta
x(n)=\frac{5\sqrt{2}}{2}\,e^{-j\left(\frac{n\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)}
é periódica e, em caso afirmativo, determinar seu período. O conteúdo que vamos usar é a periodicidade de exponenciais complexas em tempo discreto.

Passo 2

Primeiro note que a constante \tfrac{5\sqrt{2}}{2}e^{-j\pi/2} só altera amplitude e fase inicial, mas não afeta a periodicidade. Podemos escrever
x(n)=C\;e^{-j\,\frac{\pi}{6}n},
onde C=\tfrac{5\sqrt{2}}{2}e^{-j\pi/2} e o argumento em n é \omega_0=-\tfrac{\pi}{6}.

Passo 3

Em tempo discreto, a exponencial e^{j\omega_0 n} é periódica se e somente se
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{p}{q}
for número racional, com p,q\in\mathbb{Z}. Aqui
\frac{\omega_0}{2\pi} =\frac{-\tfrac{\pi}{6}}{2\pi} =-\frac{1}{12},
que é racional com denominador 12.

Passo 4

O menor período inteiro positivo N satisfaz \omega_0 N = 2\pi k para algum k\in\mathbb{Z}. Da condição acima, o denominador q=12 dá o período fundamental
N_0 = 12.

Resposta

A sequência x(n) é periódica e seu período fundamental é 12.

Exercícios relacionados