Determine:
(2 pts) integral 2 x+6x^2-2 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 2x+6x^2-2x+5,dx
Este é um caso de função racional; vamos usar decomposição em parte que é derivada do denominador e completar o quadrado para a parte restante.

Passo 2

Note que
ddxl(x^2-2x+5r)=2x-2
Podemos então escrever
2x+6 = (2x-2) + 8

Passo 3

Separe a integral em duas partes:
integral 2x+6x^2-2x+5,dx = integral 2x-2x^2-2x+5,dx + 8integral 1x^2-2x+5,dx
A primeira parte é imediata, pois é do tipo integral f'(x)/f(x),dx:
integral 2x-2x^2-2x+5,dx = lnl(x^2-2x+5r)

Passo 4

Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador:
x^2-2x+5 = (x-1)^2 + 4
Logo
integral 1x^2-2x+5,dx = integral 1(x-1)^2+2^2,dx = 12arctan!l(tfracx-12r)
Multiplicando por 8
8integral 1x^2-2x+5,dx = 4arctan!l(tfracx-12r)

Passo 5

Somando as duas partes obtemos
integral 2x+6x^2-2x+5,dx = lnl(x^2-2x+5r) +4arctan!l(tfracx-12r) + C

Resposta

lnl(x^2-2x+5r);+;4,arctan!l(tfracx-12r);+;C

Exercícios relacionados