Encontre o centróide de cada superfície S dada abaixo. Como no exercício precedente, admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(c) S é a porção do hemisfério x^2+y^2+z^2=4, y >= 0, externa ao cilindro x^2+y^2=2.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da superfície S definida pela porção do hemisfério
x^2+y^2+z^2=4, y>=0
que fica fora do cilindro
x^2+y^2=2,
com densidade superficial uniforme rhoequiv1. Para isso vamos usar a fórmula do centróide de uma superfície:
bar x=1Aintegral duplaSx,dS, bar y=1Aintegral duplaSy,dS, bar z=1Aintegral duplaSz,dS,
onde
A=integral duplaSdS
é a área de S.

Passo 2

Pela simetria em torno do plano yz e do plano xy restringidos a y>=0 e à parte de esfera externa ao cilindro, temos
bar x=0 e bar z=0
Resta calcular apenas bar y.

Passo 3

Parametrizamos S em coordenadas esféricas:
x=2sinphicostheta, y=2sinphisintheta, z=2cosphi,
com dS=R^2sinphi,dphi,dtheta=4sinphi,dphi,dtheta. As restrições são
y>=0implies thetain[0,pi], x^2+y^2>=2implies (2sinphi)^2>=2implies sinphi>=1raiz2
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phiinl[pi4,3pi4r], thetain[0,pi]

Passo 4

Calculamos a área de S:
A=integral0^pi!integralpi/4^3pi/44sinphi,dphi,dtheta =4pil[-cosphir]pi/4^3pi/4 =4pil(tfrac1raiz2+tfrac1raiz2r) =4piraiz2

Passo 5

Calculamos a integral de y:
integral duplaSy,dS =integral0^pi!integralpi/4^3pi/4 l(2sinphisinthetar),4sinphi,dphi,dtheta =8gl(integral0^pisintheta,dthetagr) gl(integralpi/4^3pi/4sin^2phi,dphigr)
Aqui integral0^pisintheta,dtheta=2 e
integralpi/4^3pi/4sin^2phi,dphi =l[tfracphi2-tfracsin2phi4r]pi/4^3pi/4 =pi4+12
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integral duplaSy,dS =8cdot2l(pi4+12r) =16l(pi4+12r) =4pi+8

Passo 6

Dessa forma
bar y=1Aintegral duplaSy,dS =4pi+84piraiz2 =pi+2piraiz2

Resposta

(bar x,bar y,bar z) =l(0,tfracpi+2piraiz2,0r)

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