Encontre o centróide de cada superfície
dada abaixo. Como no exercício precedente, admita que a densidade superficial de massa é
.
(c)
é a porção do hemisfério
, externa ao cilindro
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede o centróide da superfície
definida pela porção do hemisfério
que fica fora do cilindro
com densidade superficial uniforme
. Para isso vamos usar a fórmula do centróide de uma superfície:
onde
é a área de
.
Passo 2
Pela simetria em torno do plano
e do plano
restringidos a
e à parte de esfera externa ao cilindro, temos
Resta calcular apenas
.
Passo 3
Parametrizamos
em coordenadas esféricas:
com
. As restrições são
logo
Passo 4
Calculamos a área de
:
Passo 5
Calculamos a integral de
:
Aqui
e
Logo
Passo 6
Dessa forma