Seja TA: R^n R^n definida por TA(X)=A X onde A é uma matriz quadrada de ordem n com det A neq 0. Defina em R^n o produto interno canônico:
<X, Y>=Y^T X
(a) (0,4) Prove que TA é linear.
(b) (0,4) Determine o núcleo e a imagem de TA.
(c) (0,4) TA é inversível? Justifique.
(d) (0,5) Que condições devemos impor a matriz A para que |TA(X)|=|X|, onde ||.|| é a norma euclidiana.
(e) (0,8) Sejam lambda1, lambda2, ldots, lambdan autovalores reais e distintos de A. Prove que a solução do sistema A X=B é
X=sumi=1^n <B, vi>lambdai<vi, vi> vi

Passo 1

O enunciado trata de TA:R^ntoR^n dada por
TA(X)=A,X,
onde AinR^ntimes n satisfaz det Aneq0. Vamos usar conceitos de transformação linear, núcleo, imagem, invertibilidade de matriz (determinante não nulo), matrizes ortogonais (para preservar norma) e base de autovetores (para decompor vetores e resolver A,X=B).

Passo 2

Para provar que TA é linear, mostramos que para quaisquer X,YinR^n e alphainR vale
TA(X+Y)=A(X+Y)=AX+AY=TA(X)+TA(Y),
TA(alpha X)=A(alpha X)=alpha(AX)=alpha,TA(X)
Como soma e multiplicação escalar se comportam corretamente, TA é linear.

Passo 3

O núcleo é
Como , a única solução de é . Logo
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de . Novamente, implica posto máximo , então as colunas de geram . Assim

Passo 4

Uma transformação linear de em é invertível se, e somente se, (ou equivalentemente ou ). Como já temos , concluímos que é invertível.

Passo 5

Queremos |TA(X)|=|X| para todo X, onde
|X|=raiz<X,X>=raizX^T X
Isso equivale a
|A,X|^2=(A,X)^T(A,X)=X^T(A^T A)X=X^T X forall X
A igualdade X^T(A^T A)X=X^T X para todo X ocorre se, e somente se,
A^T A=In
Portanto, a condição é que A seja ortogonal, i.e. A^T A=I.

Passo 6

Suponha que A tenha autovalores reais distintos lambda1,dots,lambdan com autovetores v1,dots,vn. Esses vi formam base de R^n. Dado B, escrevemos
B=sumi=1^n alphai,vi,
onde, usando ortogonalidade da base (não exigida, mas serve de fórmula geral),
alphai=<B,vi><vi,vi>
Procuramos X tal que A,X=B. Escreva também
X=sumi=1^n betai,vi
Então
A,X=sumi=1^n betai,A,vi =sumi=1^n betai,lambdai,vi = sumi=1^n alphai,vi
Comparando coeficientes na base vi obtemos betai,lambdai=alphai, ou seja
betai=alphailambdai =<B,vi>lambdai,<vi,vi>
Logo
X=sumi=1^n <B,vi>lambdai,<vi,vi>,vi

Resposta

(a) TA é linear pois preserva soma e multiplicação escalar.
(b) ker TA=0 e Im TA=R^n.
(c) Sim, TA é invertível pois det Aneq0.
(d) É necessário e suficiente que A seja ortogonal, i.e. A^T A=I.
(e)
X=sumi=1^n<B,vi>lambdai,<vi,vi>,vi

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