Seja
definida por
onde
é uma matriz quadrada de ordem
com
. Defina em
o produto interno canônico:
(a)
Prove que
é linear.
(b)
Determine o núcleo e a imagem de
.
(c)
é inversível? Justifique.
(d)
Que condições devemos impor a matriz
para que
, onde ||.|| é a norma euclidiana.
(e)
Sejam
autovalores reais e distintos de
. Prove que a solução do sistema
é
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado trata de
dada por
onde
satisfaz
. Vamos usar conceitos de transformação linear, núcleo, imagem, invertibilidade de matriz (determinante não nulo), matrizes ortogonais (para preservar norma) e base de autovetores (para decompor vetores e resolver
).
Passo 2
Para provar que
é linear, mostramos que para quaisquer
e
vale
Como soma e multiplicação escalar se comportam corretamente,
é linear.
Passo 3
O núcleo é
Como
, a única solução de
é
. Logo
A imagem é o espaço gerado pelas colunas de
. Novamente,
implica posto máximo , então as colunas de
geram
. Assim
Passo 4
Uma transformação linear de
em
é invertível se, e somente se,
(ou equivalentemente ou
). Como já temos
, concluímos que
é invertível.
Passo 5
Queremos
para todo
, onde
Isso equivale a
A igualdade
para todo
ocorre se, e somente se,
Portanto, a condição é que
seja ortogonal, i.e.
.
Passo 6
Suponha que
tenha autovalores reais distintos
com autovetores
. Esses
formam base de
. Dado
, escrevemos
onde, usando ortogonalidade da base (não exigida, mas serve de fórmula geral),
Procuramos
tal que
. Escreva também
Então
Comparando coeficientes na base
obtemos
, ou seja
Logo
Resposta
(a)
é linear pois preserva soma e multiplicação escalar.
(b) e
.
(c) Sim, é invertível pois
.
(d) É necessário e suficiente que seja ortogonal, i.e.
.
(e)
(b)
(c) Sim,
(d) É necessário e suficiente que
(e)