Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
2 x^{2}+12 x+18=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas raízes a equação dada possui. A equação fornecida é 2x^{2}+12x+18=0.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Coeficiente a = 2.
  • Coeficiente b = 12.
  • Termo constante c = 18.

Passo 2

Vou explicar a ideia que normalmente se usa para esse tipo de pergunta: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e o discriminante.
A solução geral da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 é dada por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante, definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
O papel do discriminante é o seguinte:
  • Se \Delta>0, a raiz quadrada de \Delta é um número real positivo e a fórmula dá duas raízes reais distintas (o símbolo \pm produz dois valores diferentes).
  • Se \Delta=0, a raiz quadrada de \Delta é zero e a fórmula dá uma única raiz real (as duas soluções coincidem): chama-se raiz de multiplicidade 2.
  • Se \Delta<0, a raiz quadrada de \Delta é imaginária e não há raízes reais (há duas raízes complexas conjugadas).
Isso é tudo que precisamos para decidir “quantas” raízes reais existem.

Passo 3

Calcular o discriminante para os coeficientes desta equação. Usando a=2, b=12, c=18,
\Delta = b^{2}-4ac = 12^{2}-4\cdot 2\cdot 18.
Agora faço as contas passo a passo:
12^{2}=144,
4\cdot 2 = 8,
8\cdot 18 = 144,
portanto
\Delta = 144-144 = 0.

Passo 4

Interpretação do resultado: como \Delta=0, pela regra do discriminante a equação tem exatamente uma raiz real, com multiplicidade 2 (as duas soluções da fórmula coincidem). Geometricamente, isso significa que o gráfico de y=2x^{2}+12x+18 toca o eixo x em um único ponto (é tangente ao eixo).

Passo 5

Podemos encontrar o valor dessa raiz aplicando a fórmula quando \Delta=0; então
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3.
Logo a única raiz real (dupla) é x=-3.

Resposta

Uma raiz real (multiplicidade 2): x=-3

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