Determine quantas raízes as equações abaixo possuem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas raízes a equação dada possui. A equação fornecida é
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Coeficiente
. - Coeficiente
. - Termo constante
.
Passo 2
Vou explicar a ideia que normalmente se usa para esse tipo de pergunta: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e o discriminante.
A solução geral da equação quadrática
é dada por
onde
é o discriminante, definido por
O papel do discriminante é o seguinte:
- Se
, a raiz quadrada de é um número real positivo e a fórmula dá duas raízes reais distintas (o símbolo produz dois valores diferentes). - Se
, a raiz quadrada de é zero e a fórmula dá uma única raiz real (as duas soluções coincidem): chama-se raiz de multiplicidade 2. - Se
, a raiz quadrada de é imaginária e não há raízes reais (há duas raízes complexas conjugadas).
Isso é tudo que precisamos para decidir “quantas” raízes reais existem.
Passo 3
Calcular o discriminante para os coeficientes desta equação. Usando
,
,
,
Agora faço as contas passo a passo:
portanto
Passo 4
Interpretação do resultado: como
, pela regra do discriminante a equação tem exatamente uma raiz real, com multiplicidade 2 (as duas soluções da fórmula coincidem). Geometricamente, isso significa que o gráfico de
toca o eixo
em um único ponto (é tangente ao eixo).
Passo 5
Podemos encontrar o valor dessa raiz aplicando a fórmula quando
; então
Logo a única raiz real (dupla) é
.
Resposta
Uma raiz real (multiplicidade 2):