Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
(3-4 x)(x+3)=9

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(3-4x)(x+3)=9.
O que a questão pede: determinar, quando possível, as raízes reais dessa equação (ou seja, todos os valores reais de x que satisfazem a igualdade). Informação dada: a única expressão do enunciado é a equação acima.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o produto do lado esquerdo para transformar a equação em uma forma padrão. Calcular
(3-4x)(x+3)=3(x+3)-4x(x+3).
Agora desenvolvendo cada termo:
3(x+3)=3x+9, \qquad -4x(x+3)=-4x^2-12x.
Somando os dois resultados obtemos o polinômio do lado esquerdo:
(3-4x)(x+3)=-4x^2-9x+9.

Passo 3

Substituir na equação original e arrumar na forma padrão ax^2+bx+c=0. Temos
-4x^2-9x+9=9.
Subtrair 9 dos dois lados:
-4x^2-9x+9-9=0,
portanto
-4x^2-9x=0.
Multiplicando por -1 (para deixar o coeficiente do quadrado positivo):
4x^2+9x=0.
Escrevendo explicitamente na forma padrão:
4x^2+9x+0=0.
Logo os coeficientes são \,a=4\,,\;b=9\,,\;c=0.

Passo 4

O enunciado pediu para usar a fórmula de Bháskara (fórmula quadrática). Vou lembrar a fórmula e explicar o que cada símbolo significa.
A fórmula de Bháskara diz que as raízes da equação \,ax^2+bx+c=0\, são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui:
  • \,a é o coeficiente do termo x^2.
  • \,b é o coeficiente do termo x.
  • \,c é o termo constante.
  • O discriminante é \,\Delta=b^2-4ac. Ele determina a natureza das raízes:
    • se \Delta>0 há duas raízes reais distintas;
    • se \Delta=0 há uma raiz real dupla;
    • se \Delta<0 não há raízes reais (são complexas).
No nosso caso já identificamos \,a=4\,,\;b=9\,,\;c=0.

Passo 5

Calcular o discriminante \Delta:
\Delta=b^2-4ac=9^2-4\cdot4\cdot0=81-0=81.
Como \Delta=81>0, haverá duas raízes reais distintas. A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{81}=9.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Bháskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9\pm 9}{2\cdot 4}=\frac{-9\pm 9}{8}.
Agora calcular separadamente os dois sinais:
x_1=\frac{-9+9}{8}=\frac{0}{8}=0,
x_2=\frac{-9-9}{8}=\frac{-18}{8}=-\frac{9}{4}.

Passo 7

(Faço uma checagem rápida substituindo as raízes na forma fatorada obtida a partir de \,4x^2+9x=0.) Podemos fatorar:
4x^2+9x=x(4x+9)=0,
portanto as soluções são x=0 e 4x+9=0\Rightarrow x=-\tfrac{9}{4}, que coincidem com os valores obtidos via Bháskara — verificação concluída.

Resposta

\,x=0
\,x=-\dfrac{9}{4}

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