Usando a fórmula de Bháskara, determine, quando possível, as raízes reais das equações.
(2-3 x)(2 x-5)=4

Passo 1

O enunciado pede para determinar, quando possível, as raízes reais da equação usando a fórmula de Bháskara. A equação dada é:
(2-3x)(2x-5)=4.
Informações dadas:
\text{o equação a resolver: }(2-3x)(2x-5)=4.çã
O objetivo final é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro passo prático: multiplicar (expandir) os fatores do lado esquerdo para transformar a equação numa equação polinomial mais simples. Fazendo a multiplicação termo a termo:
(2-3x)(2x-5)=2\cdot(2x)+2\cdot(-5)+(-3x)\cdot(2x)+(-3x)\cdot(-5).
Calculando cada produto:
2\cdot(2x)=4x,\qquad 2\cdot(-5)=-10,\qquad (-3x)\cdot(2x)=-6x^2,\qquad (-3x)\cdot(-5)=15x.
Somando esses termos:
4x-10-6x^2+15x.

Passo 3

Substituindo o resultado da expansão na equação original e trazendo tudo para o mesmo lado para obter a forma padrão ax^2+bx+c=0:
4x-10-6x^2+15x=4.
Agrupando termos semelhantes no lado esquerdo:
-6x^2+(4x+15x)-10=4 \quad\Rightarrow\quad -6x^2+19x-10=4.
Agora subtrai-se 4 dos dois lados para ficar com zero no lado direito:
-6x^2+19x-14=0.
Multiplica-se por -1 para deixar o coeficiente de x^2 positivo:
6x^2-19x+14=0.
Assim identificamos os coeficientes da forma quadrática:
a=6,\qquad b=-19,\qquad c=14.

Passo 4

Vamos usar a fórmula de Bháskara (fórmula quadrática). A fórmula diz que as raízes da equação \,ax^2+bx+c=0\,$ são dadas por: \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\] onde o discriminante \(\Delta é
\Delta=b^2-4ac.
Significado das partes:
  • a é o coeficiente de x^2;
  • b é o coeficiente de x;
  • c é o termo constante;
  • \Delta indica a natureza das raízes:
    • se \Delta>0 há duas raízes reais distintas;
    • se \Delta=0 há uma raiz real dupla (repetida);
    • se \Delta<0 não há raízes reais (são complexas).)

Passo 5

Calcular o discriminante substituindo a=6, b=-19, c=14:
\Delta=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot6\cdot14.
Calcule cada parte:
(-19)^2=361,\qquad 4\cdot6\cdot14=24\cdot14=336.
Portanto
\Delta=361-336=25.
Como \Delta=25>0, teremos duas raízes reais distintas. A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5.

Passo 6

Aplicando a fórmula de Bháskara:
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-19)\pm5}{2\cdot6}=\dfrac{19\pm5}{12}.
Calculando as duas opções:
x_1=\dfrac{19+5}{12}=\dfrac{24}{12}=2,
x_2=\dfrac{19-5}{12}=\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{6}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituir cada raiz na equação original para checar.
Para x=2:
(2-3\cdot2)(2\cdot2-5)=(2-6)(4-5)=(-4)(-1)=4,
ok.
Para x=\dfrac{7}{6}:
2-3\cdot\dfrac{7}{6}=2-\dfrac{21}{6}=2-\dfrac{7}{2}=-\dfrac{3}{2},
2\cdot\dfrac{7}{6}-5=\dfrac{14}{6}-5=\dfrac{14-30}{6}=-\dfrac{16}{6}=-\dfrac{8}{3},
produto:
\left(-\dfrac{3}{2}\right)\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{24}{6}=4,
ok. Ambas as soluções satisfazem a equação.

Resposta

\;2
\;\dfrac{7}{6}

Exercícios relacionados