Determine a quantidade de energia mínima necessária que se deve fornecer para aprisionar um elétron livre em um poço de potencial infinito cúbico (três dimensões) de largura 1 nm . Considere que o elétron tem energia cinética inicial nula.

Passo 1

O enunciado pergunta a menor energia que precisamos dar a um elétron livre (energia cinética inicial zero) para confiná-lo num poço de potencial infinito cúbico de lado L=1\,\text{nm}. O conteúdo aqui é “partícula num poço infinito em 3D” e vamos usar a fórmula dos níveis de energia quânticos desse poço.

Passo 2

Para uma partícula de massa m num poço cúbico infinito de lado L, os níveis de energia são
E_{n_x,n_y,n_z} =\frac{h^2}{8\,m\,L^2}\,\bigl(n_x^2+n_y^2+n_z^2\bigr),
onde n_x,n_y,n_z\in\mathbb{N}^*.

Passo 3

O estado fundamental (menor energia) tem n_x=n_y=n_z=1. Logo
E_{\text{min}} =E_{1,1,1} =\frac{h^2}{8\,m\,L^2}\,(1^2+1^2+1^2) =\frac{3\,h^2}{8\,m\,L^2}.

Passo 4

Substituindo h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e L=1{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{m}:
E_{\text{min}} =\frac{3\,(6{,}626\times10^{-34})^2}{8\,(9{,}11\times10^{-31})\,(1{,}0\times10^{-9})^2} \approx1{,}8\times10^{-19}\,\mathrm{J}
Convertendo para elétron-volt ( 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}):
E_{\text{min}}\approx\frac{1{,}8\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\;\mathrm{eV} \approx1{,}13\;\mathrm{eV}.

Resposta

A energia mínima necessária vale aproximadamente
1{,}8\times10^{-19}\,\mathrm{J}\quad(\approx1{,}13\,\mathrm{eV}).

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