1. Questão
    34.61 • Um telescópio é construído a partir de duas lentes com distâncias focais de 95,0 \mathrm{~cm} e 15,0 \mathrm{~cm}, sendo usada como objetiva a lente de 95,0 \mathrm{~cm}. Tanto o objeto quanto a imagem final se encontram no infinito. (a) Encontre a ampliação angular do telescópio. (b) Encontre a altura da imagem formada pela objetiva para um edifício com altura de 60,0 \mathrm{~m} situado a uma distância igual a 3,0 \mathrm{~km}. (c) Qual é o tamanho angular da imagem final vista por um olho próximo da ocular?

Passo 1

O enunciado descreve um telescópio formado por duas lentes delgadas: a objetiva com distância focal f_o = 95{,}0,cm e a ocular com distância focal f_e = 15{,}0,cm. O objeto (o astro ou, na parte (b), um edifício) está efetivamente no infinito ou muito longe, e a imagem final fornecida pela ocular também está no infinito. Precisamos calcular:
– (a) a ampliação angular do telescópio;
– (b) a altura da imagem intermediária (formada pela objetiva) para um edifício de 60{,}0,m a 3{,}0,km;
– (c) o tamanho angular da imagem final vista pelo observador.

Passo 2

A ampliação angular M de um telescópio astronômico em configuração de Galileu ou Kepler (ambos dão a mesma fórmula de módulo) é dada por
M \;=\; -\,\frac{f_o}{f_e}.
Substituindo f_o=95{,}0,cm e f_e=15{,}0,cm, vem
M = -\frac{95{,}0}{15{,}0} = -6{,}33.
O sinal negativo indica que a imagem fica invertida; o módulo \lvert M\rvert=6{,}33 é a ampliação angular.

Passo 3

Para a parte (b), o edifício de altura H=60{,}0,m está a D=3{,}0,km. Primeiro convertemos tudo para centímetros:
H = 60{,}0\text{ m} = 6000\text{ cm},\quad D = 3{,}0\text{ km} = 300\,000\text{ cm}.
A objetiva forma uma imagem real a uma distância s' dada pela equação dos fabricantes de lentes:
\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f_o},
onde s=D. Como D\gg f_o, temos
s' \approx \frac{f_o\,s}{s - f_o} = \frac{95{,}0 \times 300\,000}{300\,000 - 95{,}0} \approx 95{,}03\text{ cm}.
A ampliação linear da objetiva vale
m = \frac{y'}{y} = -\,\frac{s'}{s},
logo a altura da imagem intermediária é
y' = -\,\frac{95{,}03}{300\,000}\times 6000 \approx -1{,}90\text{ cm}.
O valor negativo só indica que a imagem está invertida. Em módulo, a altura é 1{,}90,cm.

Passo 4

Para a parte (c), o olho, posicionado na ocular, vê essa imagem intermediária como se estivesse no infinito, e o tamanho angular final \theta_f é aproximadamente
\theta_f \approx \frac{\lvert y'\rvert}{f_e} = \frac{1{,}90\text{ cm}}{15{,}0\text{ cm}} \approx 0{,}127\text{ rad}.
Em graus, isso equivale a
\theta_f \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx 7{,}3^\circ.

Resposta

(a) \displaystyle M = -\frac{95{,}0}{15{,}0} = -6{,}33 (módulo 6{,}33).
(b) Altura da imagem intermediária \lvert y'\rvert \approx 1{,}90,cm.
(c) Tamanho angular final \theta_f \approx 0{,}127,rad \approx 7{,}3^\circ.

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