Em um tubo de raios catódicos (de um televisor antigo), os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial de 15 kV . (a) Determine o comprimento de onda de de Broglie desses elétrons. (b) Considerando que as dimensões dos filtros dentro da TV para guiar o feixe até o pixel certo na tela são da ordem de mm. Explique se os efeitos de difração devem ser levados em conta ou não.

Passo 1

O enunciado diz que elétrons são acelerados por uma diferença de potencial de 15\:\text{kV}. Precisamos (a) calcular o comprimento de onda de de Broglie desses elétrons e (b) verificar se, para guias internos de dimensão da ordem de milímetros, o efeito de difração é relevante. Para isso vamos usar a relação de Broglie
\lambda = \frac{h}{p}
e a expressão clássica para o momento p de uma partícula não-relativística acelerada por uma diferença de potencial V:
p = \sqrt{2\,m\,E_{\text{c}}}
com E_{\text{c}}=e\,V.

Passo 2

Calcular a energia cinética E_{\text{c}} em joules. Sabendo que e=1{,}602\times10^{-19}\:\text{C} e V=15\,000\:\text{V},
E_{\text{c}} = e\,V = 1{,}602\times10^{-19}\times1{,}5\times10^{4} = 2{,}403\times10^{-15}\:\text{J}.

Passo 3

Determinar o momento p. Tomando m=9{,}11\times10^{-31}\:\text{kg},
p = \sqrt{2\,m\,E_{\text{c}}} = \sqrt{2 \times 9{,}11\times10^{-31}\times 2{,}403\times10^{-15}} \approx 6{,}62\times10^{-23}\:\text{kg\cdotm/s}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda de Broglie. Com h=6{,}626\times10^{-34}\:\text{J\cdots},
\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626\times10^{-34}}{6{,}62\times10^{-23}} \approx 1{,}00\times10^{-11}\:\text{m}.

Passo 5

Estimar a ordem de grandeza do ângulo de difração num orifício de dimensão a\sim10^{-3}\:\text{m}. A fórmula típica é
\theta \sim \frac{\lambda}{a} = \frac{1{,}0\times10^{-11}}{1{,}0\times10^{-3}} = 1{,}0\times10^{-8}\:\text{rad},
valor muito pequeno, indicando que a onda eletrônica praticamente não se espalha por difração nessa escala.

Resposta

(a) \lambda\approx1{,}0\times10^{-11}\:\text{m}.
(b) Como o comprimento de onda é cerca de 10^{-11}\:\text{m} e as aberturas internas têm ordem de 10^{-3}\:\text{m}, o ângulo de difração \theta\sim10^{-8}\:\text{rad} é insignificante. Logo, efeitos de difração podem ser desprezados.

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