1. Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 214 .

Passo 1

O que o problema pede: determinar quantos números inteiros, múltiplos de 5, existem entre 21 e 214.
Informações dadas (explicitadas):
  • Os extremos são 21 e 214.
  • Queremos contar inteiros que são múltiplos de 5 e que estão entre esses dois valores.
  • Observação útil: 21 e 214 não são múltiplos de 5; portanto a inclusão/exclusão dos extremos não altera o resultado aqui.

Passo 2

O que é um múltiplo de 5: um número inteiro m é múltiplo de 5 se existe um inteiro k tal que m=5k. Exemplos simples: 5\cdot1=5, 5\cdot2=10, 5\cdot3=15, etc.
Para contar os múltiplos de 5 num intervalo, é prático achar o primeiro múltiplo de 5 maior (ou igual) ao limite inferior e o último múltiplo de 5 menor (ou igual) ao limite superior, e então contar quantos elementos há nessa progressão aritmética.

Passo 3

Achar o primeiro múltiplo de 5 maior que 21.
Calculo rápido: 5\cdot4=20 (é menor que 21), então o próximo múltiplo é 5\cdot5=25. Logo o primeiro múltiplo de 5 no intervalo é 25.
Em notação: o primeiro termo é a_1=25.

Passo 4

Achar o último múltiplo de 5 menor ou igual a 214.
Calculo rápido: 5\cdot42=210 e 5\cdot43=215 que ultrapassa 214. Então o último múltiplo dentro do intervalo é 210.
Em notação: o último termo é a_n=210.

Passo 5

Agora usamos que os múltiplos de 5 formam uma progressão aritmética com razão d=5. Se a_1 é o primeiro termo e a_n o último, o número de termos n é dado por
n=\frac{a_n-a_1}{d}+1.
Substituindo a_n=210, a_1=25 e d=5,
n=\frac{210-25}{5}+1=\frac{185}{5}+1=37+1=38.

Passo 6

Verificação alternativa (método do piso): o número de múltiplos de 5 menores ou iguais a um inteiro N é \lfloor N/5\rfloor. Então o número de múltiplos de 5 entre 21 e 214 é
\big\lfloor\tfrac{214}{5}\big\rfloor-\big\lfloor\tfrac{21}{5}\big\rfloor.
Calculando: \big\lfloor\tfrac{214}{5}\big\rfloor=\lfloor42,8\rfloor=42 e \big\lfloor\tfrac{21}{5}\big\rfloor=\lfloor4,2\rfloor=4. Portanto 42-4=38, confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Resultado interpretado: existem 38 números inteiros entre 21 e 214 que são divisíveis por 5. Boa — esse tipo de contagem é bem comum em provas; lembrar da ideia de escrever os múltiplos como 5k ou usar a fórmula da progressão aritmética ajuda muito.

Resposta

38

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