- Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 214 .
Passo 1
O que o problema pede: determinar quantos números inteiros, múltiplos de
, existem entre
e
.
Informações dadas (explicitadas):
- Os extremos são
e . - Queremos contar inteiros que são múltiplos de
e que estão entre esses dois valores. - Observação útil:
e não são múltiplos de ; portanto a inclusão/exclusão dos extremos não altera o resultado aqui.
Passo 2
O que é um múltiplo de
: um número inteiro
é múltiplo de
se existe um inteiro
tal que
. Exemplos simples:
,
,
, etc.
Para contar os múltiplos de
num intervalo, é prático achar o primeiro múltiplo de
maior (ou igual) ao limite inferior e o último múltiplo de
menor (ou igual) ao limite superior, e então contar quantos elementos há nessa progressão aritmética.
Passo 3
Achar o primeiro múltiplo de
maior que
.
Calculo rápido:
(é menor que
), então o próximo múltiplo é
. Logo o primeiro múltiplo de
no intervalo é
.
Em notação: o primeiro termo é
.
Passo 4
Achar o último múltiplo de
menor ou igual a
.
Calculo rápido:
e
que ultrapassa
. Então o último múltiplo dentro do intervalo é
.
Em notação: o último termo é
.
Passo 5
Agora usamos que os múltiplos de
formam uma progressão aritmética com razão
. Se
é o primeiro termo e
o último, o número de termos
é dado por
Substituindo
,
e
,
Passo 6
Verificação alternativa (método do piso): o número de múltiplos de
menores ou iguais a um inteiro
é
. Então o número de múltiplos de
entre
e
é
Calculando:
e
. Portanto
, confirmando o resultado anterior.
Passo 7
Resultado interpretado: existem
números inteiros entre
e
que são divisíveis por
. Boa — esse tipo de contagem é bem comum em provas; lembrar da ideia de escrever os múltiplos como
ou usar a fórmula da progressão aritmética ajuda muito.
Resposta
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