Determine quantos zeros reais do polinômio
estão no intervalo
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar quantos zeros reais do polinômio
estão no intervalo
.
Informações dadas:
O intervalo onde queremos contar zeros é
.
Observação importante: polígonos (polinômios) são funções contínuas em
, então podemos usar resultados como o Teorema do Valor Intermediário (se a função muda de sinal num intervalo, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo).
Passo 2
Avalio
nas extremidades do intervalo para ter uma ideia inicial.
Calculemos
:
Logo
Calculemos
:
Logo
Conclusão parcial: nos extremos do intervalo a função é positiva. Ainda assim, pode haver raízes dentro de
se a função descer abaixo de zero e depois voltar a subir.
Passo 3
Para saber se a função “desce” e “sobe” dentro de
vamos estudar a derivada e os pontos críticos (onde a derivada é zero).
A derivada é
Resolvemos
, ou seja a equação quadrática
Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante é
Portanto as raízes são
Denotemos
então os pontos críticos são
Numericamente,
e
.
Interpretação qualitativa: para um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo, o ponto crítico menor é um máximo local e o maior é um mínimo local. Assim
é o mínimo local em torno de
, que está dentro do intervalo
.
Passo 4
Agora avaliamos
nos pontos críticos para saber os sinais nos vales e cumes. É suficiente olhar especialmente o mínimo
(pois fica dentro de
).
Calculemos
. Expandindo:
Fazendo as contas (expansão e simplificação) obtemos
Lembrando
, temos
Substituindo,
Como
, o valor
é claramente negativo. Numericamente
.
Para confirmar o máximo local em
, podemos calcular
com a mesma expansão:
isto é,
está associado a um máximo positivo.
Resumo de sinais:
-
. -
(mínimo local negativo, com ). -
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI): como
é contínua, se em um intervalo
temos
, então existe pelo menos uma raiz em
.
- Entre
(onde ) e (onde ) a função muda de sinal, logo existe pelo menos uma raiz em . - Entre
(onde ) e (onde ) a função muda de sinal novamente, logo existe pelo menos uma raiz em .
Como
é um polinômio cúbico, não pode ter mais que uma mudança de sinal por trecho sem outro extremo; já identificamos o mínimo único em
, então há exatamente uma raiz entre
e
e exatamente uma raiz entre
e
. Além disso, os extremos
e
não são raízes (avaliamos
e
). Portanto existem exatamente duas raízes reais dentro do intervalo
.
Resposta
2