Determine quantos zeros reais do polinômio P_{3}(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+1 estão no intervalo [0,4].

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar quantos zeros reais do polinômio P_{3}(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+1 estão no intervalo [0,4].
Informações dadas:
P_{3}(x)=x^{3}-3x^{2}-x+1.
O intervalo onde queremos contar zeros é [0,4].
Observação importante: polígonos (polinômios) são funções contínuas em \mathbb{R}, então podemos usar resultados como o Teorema do Valor Intermediário (se a função muda de sinal num intervalo, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo).

Passo 2

Avalio P_{3} nas extremidades do intervalo para ter uma ideia inicial.
Calculemos \;P_{3}(0):
P_{3}(0)=0^{3}-3\cdot0^{2}-0+1=1.
Logo \;P_{3}(0)=1>0.
Calculemos \;P_{3}(4):
P_{3}(4)=4^{3}-3\cdot4^{2}-4+1=64-48-4+1=13.
Logo \;P_{3}(4)=13>0.
Conclusão parcial: nos extremos do intervalo a função é positiva. Ainda assim, pode haver raízes dentro de (0,4) se a função descer abaixo de zero e depois voltar a subir.

Passo 3

Para saber se a função “desce” e “sobe” dentro de [0,4] vamos estudar a derivada e os pontos críticos (onde a derivada é zero).
A derivada é
P_{3}'(x)=3x^{2}-6x-1.
Resolvemos P_{3}'(x)=0, ou seja a equação quadrática
3x^{2}-6x-1=0.
Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante é
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=36+12=48.
Portanto as raízes são
x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6}=\frac{6\pm4\sqrt{3}}{6}=1\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Denotemos
t=\frac{2\sqrt{3}}{3},
então os pontos críticos são
x_{1}=1-t\quad\text{e}\quad x_{2}=1+t.
Numericamente, \;x_{1}\approx-0{,}1547 e \;x_{2}\approx2{,}1547.
Interpretação qualitativa: para um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo, o ponto crítico menor é um máximo local e o maior é um mínimo local. Assim x_{2} é o mínimo local em torno de 2{,}1547, que está dentro do intervalo [0,4].

Passo 4

Agora avaliamos P_{3} nos pontos críticos para saber os sinais nos vales e cumes. É suficiente olhar especialmente o mínimo x_{2}=1+t (pois fica dentro de [0,4]).
Calculemos P_{3}(1+t). Expandindo:
(1+t)^{3}-3(1+t)^{2}-(1+t)+1.
Fazendo as contas (expansão e simplificação) obtemos
P_{3}(1+t)=t^{3}-4t-2.
Lembrando t=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}, temos
t^{3}=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{3}=\frac{8\cdot3\sqrt{3}}{27}=\frac{8\sqrt{3}}{9}.
Substituindo,
P_{3}(1+t)=\frac{8\sqrt{3}}{9}-4\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}-2 =\frac{8\sqrt{3}}{9}-\frac{8\sqrt{3}}{3}-2 =\frac{8\sqrt{3}}{9}\left(1-3\right)-2 =-\frac{16\sqrt{3}}{9}-2.
Como \sqrt{3}>0, o valor -\dfrac{16\sqrt{3}}{9}-2 é claramente negativo. Numericamente -\dfrac{16\sqrt{3}}{9}-2\approx-5{,}079.
Para confirmar o máximo local em x_{1}=1-t, podemos calcular P_{3}(1-t) com a mesma expansão:
P_{3}(1-t)=-t^{3}+4t-2=\frac{16\sqrt{3}}{9}-2\approx1{,}079>0,
isto é, x_{1} está associado a um máximo positivo.
Resumo de sinais:
  • P_{3}(0)=1>0.
  • P_{3}(x_{2})=P_{3}(1+t)<0 (mínimo local negativo, com x_{2}\approx2{,}1547\in(0,4)).
  • P_{3}(4)=13>0.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI): como P_{3} é contínua, se em um intervalo [a,b] temos P_{3}(a)\cdot P_{3}(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Entre x=0 (onde P_{3}(0)>0) e x=x_{2} (onde P_{3}(x_{2})<0) a função muda de sinal, logo existe pelo menos uma raiz em (0,x_{2})\subset(0,4).
  • Entre x=x_{2} (onde P_{3}(x_{2})<0) e x=4 (onde P_{3}(4)>0) a função muda de sinal novamente, logo existe pelo menos uma raiz em (x_{2},4)\subset(0,4).
Como P_{3} é um polinômio cúbico, não pode ter mais que uma mudança de sinal por trecho sem outro extremo; já identificamos o mínimo único em (0,4), então há exatamente uma raiz entre 0 e x_{2} e exatamente uma raiz entre x_{2} e 4. Além disso, os extremos 0 e 4 não são raízes (avaliamos P_{3}(0)=1 e P_{3}(4)=13). Portanto existem exatamente duas raízes reais dentro do intervalo [0,4].

Resposta

2

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