Utilizando o método de Newton, determine aproximações para todas as soluções reais das equações abaixo dentro das precisões \varepsilon indicadas, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso.
d) \cos x-x=0, \quad \varepsilon=10^{-6}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar aproximações, pelo método de Newton, de todas as soluções reais da equação
\cos x - x = 0
com precisão \varepsilon = 10^{-6}, arredondando para quatro casas decimais quando for o caso.
Informações dadas: a equação \cos x - x =0 e a tolerância \varepsilon=10^{-6}.
Objetivo: determinar todas as raízes reais (se houver mais de uma, encontrar todas) e fornecer a aproximação dentro da precisão indicada.

Passo 2

Primeiro vamos ver quantas raízes reais existem (isso ajuda a saber quantas aproximações precisamos achar). Defina
f(x)=\cos x - x.
  • Calcule f(0)=\cos 0 - 0 = 1>0.
  • Calcule f(1)=\cos 1 - 1 \approx 0{,}5403 - 1 = -0{,}4597 <0.
    Como f é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (0,1).
    Agora a derivada:
f'(x) = -\sin x - 1.
Note que \sin x \in [-1,1], então -\sin x -1 \le 0 para todo x, e na maior parte dos pontos é estritamente negativo. Logo f é estritamente decrescente (exceto em pontos isolados onde \sin x=-1, que não criam novas raízes aqui). Uma função estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz. Conclusão: existe exatamente uma raiz real da equação e ela está no intervalo (0,1).

Passo 3

O enunciado pede para usar o método de Newton. Vou explicar a ideia e a fórmula aplicada ao nosso f. O método de Newton gera uma sequência (x_n) por
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Intuição rápida: em cada passo substituímos a curva por sua reta tangente em x_n e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação. Para o nosso f obtemos explicitamente
f(x)=\cos x - x,\qquad f'(x)=-\sin x -1,
portanto a iteração fica
x_{n+1}=x_n-\frac{\cos x_n - x_n}{-\sin x_n -1} = x_n + \frac{\cos x_n - x_n}{\sin x_n + 1}.
Critério prático de parada: enchemos |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon (ou |f(x_n)|<\varepsilon). Aqui usaremos |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}.

Passo 4

Escolha da aproximação inicial x_0. Como já sabemos que a raiz está em (0,1) e mais precisamente próximo de 0{,}74, uma boa escolha simples é x_0=0{,}7. Isso deixa o método com boa convergência (Newton é quadrático quando estamos suficientemente perto).

Passo 5

Vamos executar as iterações e mostrar os cálculos (cada número aparece em forma decimal, sempre dentro de ... conforme pedido).
  1. Iteração 0\to1 com x_0=0{,}7:
    Calcule \cos(0{,}7) e \sin(0{,}7): \cos(0{,}7)\approx 0{,}7648421873,\qquad \sin(0{,}7)\approx 0{,}6442176872.Então f(x_0)=\cos(0{,}7)-0{,}7\approx 0{,}0648421873,
f'(x_0)=-\sin(0{,}7)-1\approx -1{,}6442176872.
Usando a fórmula de Newton:
x_1 = 0{,}7 - \frac{0{,}0648421873}{-1{,}6442176872}\approx 0{,}7394366191.
Diferença: |x_1-x_0|\approx 0{,}0394366191, ainda maior que \varepsilon.
  1. Iteração 1\to2 com x_1\approx 0{,}7394366191:
    Calcule \cos(x_1) e \sin(x_1) aproximadamente: \cos(0{,}7394366191)\approx 0{,}7390121219,\qquad \sin(0{,}7394366191)\approx 0{,}6735600490.Então f(x_1)=\cos(x_1)-x_1\approx 0{,}7390121219-0{,}7394366191 \approx -0{,}0004244972,
f'(x_1)=-\sin(x_1)-1\approx -1{,}6735600490.
Aplicando Newton:
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 0{,}7394366191 - \frac{-0{,}0004244972}{-1{,}6735600490} \approx 0{,}7390851332.
Diferença: |x_2-x_1|\approx 0{,}0003514859, ainda maior que \varepsilon, mas já bem pequeno.
  1. Iteração 2\to3 com x_2\approx 0{,}7390851332:
    Calcule \cos(x_2) e \sin(x_2) aproximadamente: \cos(0{,}7390851332)\approx 0{,}7390851332,\qquad \sin(0{,}7390851332)\approx 0{,}6736120290.Observação: ao nível de precisão mostrado, \cos(x_2) já coincide com x_2, sinal de que alcançámos a raiz ao número de casas mostrado. Ainda assim aplicamos Newton para verificar a diferença: f(x_2)=\cos(x_2)-x_2\approx \text{alguma quantidade muito pequena }(\sim 10^{-10}),e f'(x_2)=-\sin(x_2)-1\approx -1{,}6736120290.Portanto x_3 \approx x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx 0{,}7390851332\quad(\text{mudança }|x_3-x_2|<10^{-6}).çConclusão prática: a sequência já atingiu a estabilidade dentro da tolerância \varepsilon=10^{-6} após três iterações. A aproximação final, com precisão melhor que 10^{-6}, é \approx 0{,}7390851332.
Pequena explicação pedagógica final: Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz e f' não é zero no ponto. Aqui isso acontece, por isso em apenas 2–3 iterações chegamos à precisão desejada.

Resposta

x \approx 0{,}7390851332 (aproximação com erro menor que 10^{-6}; arredondando para quatro casas decimais: 0{,}7391).

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