Utilizando o método de Newton, determine aproximações para todas as soluções reais das equações abaixo dentro das precisões
indicadas, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso.
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar aproximações, pelo método de Newton, de todas as soluções reais da equação
com precisão
, arredondando para quatro casas decimais quando for o caso.
Informações dadas: a equação e a tolerância
.
Objetivo: determinar todas as raízes reais (se houver mais de uma, encontrar todas) e fornecer a aproximação dentro da precisão indicada.
Informações dadas: a equação
Objetivo: determinar todas as raízes reais (se houver mais de uma, encontrar todas) e fornecer a aproximação dentro da precisão indicada.
Passo 2
Primeiro vamos ver quantas raízes reais existem (isso ajuda a saber quantas aproximações precisamos achar). Defina
- Calcule
. - Calcule
.
Comoé contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
Agora a derivada:
Note que
, então
para todo
, e na maior parte dos pontos é estritamente negativo. Logo
é estritamente decrescente (exceto em pontos isolados onde
, que não criam novas raízes aqui). Uma função estritamente decrescente pode ter no máximo uma raiz. Conclusão: existe exatamente uma raiz real da equação e ela está no intervalo
.
Passo 3
O enunciado pede para usar o método de Newton. Vou explicar a ideia e a fórmula aplicada ao nosso
. O método de Newton gera uma sequência
por
Intuição rápida: em cada passo substituímos a curva por sua reta tangente em
e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como próxima aproximação. Para o nosso
obtemos explicitamente
portanto a iteração fica
Critério prático de parada: enchemos
(ou
). Aqui usaremos
.
Passo 4
Escolha da aproximação inicial
. Como já sabemos que a raiz está em
e mais precisamente próximo de
, uma boa escolha simples é
. Isso deixa o método com boa convergência (Newton é quadrático quando estamos suficientemente perto).
Passo 5
Vamos executar as iterações e mostrar os cálculos (cada número aparece em forma decimal, sempre dentro de
conforme pedido).
- Iteração
com :
Calculee : Então
Usando a fórmula de Newton:
Diferença:
, ainda maior que
.
- Iteração
com :
Calculee aproximadamente: Então
Aplicando Newton:
Diferença:
, ainda maior que
, mas já bem pequeno.
- Iteração
com :
Calculee aproximadamente: Observação: ao nível de precisão mostrado, já coincide com , sinal de que alcançámos a raiz ao número de casas mostrado. Ainda assim aplicamos Newton para verificar a diferença: e Portanto Conclusão prática: a sequência já atingiu a estabilidade dentro da tolerância após três iterações. A aproximação final, com precisão melhor que , é .
Pequena explicação pedagógica final: Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial está razoavelmente próxima da raiz e
não é zero no ponto. Aqui isso acontece, por isso em apenas 2–3 iterações chegamos à precisão desejada.