Encontre uma aproximação para a solução não-nula e positiva da equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma aproximação para a solução não-nula e positiva da equação
Informações dadas e objetivo:
- Temos a equação acima e queremos a raiz
diferente de . - Não há outras condições explícitas (intervalo, tolerância). Vou buscar uma aproximação numérica com boa precisão.
Passo 2
Defino a função cuja raiz procuramos:
Explicação curta (para entender por que faz sentido procurar mudança de sinal): se
for contínua num intervalo
e
e
tiverem sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos uma raiz em
. A função
é combinação de exponencial, seno e polinômio, portanto é contínua em
. Vou procurar um intervalo
com
onde
e
tenham sinais opostos.
Passo 3
Avalio
em alguns pontos simples para localizar o sinal:
portanto
.
portanto
.
Como e
, existe pelo menos uma raiz em
. Como queremos a raiz positiva não nula, esse intervalo é adequado.
Como
Passo 4
Escolha do método: vou usar o método da bisseção. Por que? É simples, robusto (garante convergência se há troca de sinal) e não exige derivadas. Lembrete do método:
- Começo com um intervalo
com . - Calculo
. Se parei; senão substituo o extremo cujo valor tem mesmo sinal de por . - Repetir até a largura do intervalo ser pequena o suficiente.
Critério de parada teórico: apósiterações a largura do intervalo é . Assim, se eu quiser erro máximo menor que , basta escolher tal que .
Passo 5
Primeira iteração: intervalo inicial
.
Calculo
:
Sinais:
e
, então a raiz está em
.
Passo 6
Segunda iteração: intervalo
.
Calculo
:
Sinais:
e
, então a raiz está em
.
Passo 7
Terceira iteração: intervalo
.
Calculo
:
Agora
e
, então raiz em
.
Passo 8
Quarta iteração: intervalo
.
Calculo
:
Logo a raiz está em
.
Passo 9
Quinta iteração: intervalo
.
Calculo
:
Raiz está em
porque
.
Passo 10
Sexta iteração: intervalo
.
Calculo
:
Agora
e
, então raiz em
.
Passo 11
Sétima iteração: intervalo
.
Calculo
:
Raiz está em
.
Passo 12
Oitava iteração: intervalo
.
Calculo
:
Agora
e
, então raiz em
.
Passo 13
Nona iteração: intervalo
.
Calculo
(valores aproximados):
Raiz em
.
Passo 14
Décima iteração: intervalo
.
Calculo
(aprox.):
Raiz em
.
Passo 15
Décima primeira iteração: intervalo
.
Calculo
:
Então raiz está em
.
Passo 16
Décima segunda iteração: intervalo
.
Calculo
(aprox.):
Agora temos
e
, intervalo
.
Passo 17
Chegamos a um intervalo pequeno. Para melhorar a precisão faço uma interpolação linear (regra da falsa posição aproximada) entre os extremos:
Interpolando:
Substituindo valores aproximados:
Cálculo numérico (aprox.):
Uma interpolação mais refinada usando os valores mais precisos das avaliações leva a
Passo 18
Verificação do erro e da precisão:
- A largura do intervalo final
é . Assim qualquer ponto dentro tem erro absoluto menor que metade disso, isto é . - A interpolação deu
, que está bem dentro do intervalo e portanto com erro garantido menor que .
Se você quiser mais casas decimais, basta continuar as iterações da bisseção (cada iteração reduz a largura do intervalo pela metade).