Encontre uma aproximação para a solução não-nula e positiva da equação
e^{-x^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=2 x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma aproximação para a solução não-nula e positiva da equação
\mathrm{e}^{-x^{2}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=2x^{2}-1.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos a equação acima e queremos a raiz x>0 diferente de 0.
  • Não há outras condições explícitas (intervalo, tolerância). Vou buscar uma aproximação numérica com boa precisão.

Passo 2

Defino a função cuja raiz procuramos:
f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)-(2x^{2}-1).
Explicação curta (para entender por que faz sentido procurar mudança de sinal): se f for contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) tiverem sinais opostos, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos uma raiz em [a,b]. A função f é combinação de exponencial, seno e polinômio, portanto é contínua em \mathbb{R}. Vou procurar um intervalo [a,b] com a>0 onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 3

Avalio f em alguns pontos simples para localizar o sinal:
f(0)=\mathrm{e}^{0}\operatorname{sen}\!\left(0\right)-(2\cdot 0^{2}-1)=0-(-1)=1,
portanto f(0)=1>0.
f(1)=\mathrm{e}^{-1}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-(2\cdot 1^{2}-1)\approx 0{,}367879\cdot 0{,}479426-(2-1)\approx 0{,}1763-1\approx -0{,}8237,
portanto f(1)\approx -0{,}8237<0.
Como f(0)>0 e f(1)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Como queremos a raiz positiva não nula, esse intervalo é adequado.

Passo 4

Escolha do método: vou usar o método da bisseção. Por que? É simples, robusto (garante convergência se há troca de sinal) e não exige derivadas. Lembrete do método:
  • Começo com um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0.
  • Calculo m=(a+b)/2. Se f(m)=0 parei; senão substituo o extremo cujo valor tem mesmo sinal de f(m) por m.
  • Repetir até a largura do intervalo ser pequena o suficiente.

    Critério de parada teórico: após n iterações a largura do intervalo é \frac{b-a}{2^{n}}. Assim, se eu quiser erro máximo menor que \varepsilon, basta escolher n tal que \frac{b-a}{2^{n}}\le \varepsilon.

Passo 5

Primeira iteração: intervalo inicial [a,b]=[0,1].
m=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
Calculo f(0{,}5):
x=0{,}5,\quad x^{2}=0{,}25,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}=\mathrm{e}^{-0{,}25}\approx 0{,}778801,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}25\right)\approx 0{,}247403,
\mathrm{LHS}=\mathrm{e}^{-x^{2}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\approx 0{,}778801\cdot 0{,}247403\approx 0{,}1926,
\mathrm{RHS}=2x^{2}-1=2\cdot 0{,}25-1=-0{,}5,
f(0{,}5)\approx 0{,}1926-(-0{,}5)=0{,}6926>0.
Sinais: f(0{,}5)>0 e f(1)<0, então a raiz está em [0{,}5,1].

Passo 6

Segunda iteração: intervalo [0{,}5,1].
m=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
Calculo f(0{,}75):
x=0{,}75,\quad x^{2}=0{,}5625,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx \mathrm{e}^{-0{,}5625}\approx 0{,}569783,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}375\right)\approx 0{,}365881,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}569783\cdot 0{,}365881\approx 0{,}2086,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}5625-1=0{,}125,
f(0{,}75)\approx 0{,}2086-0{,}125=0{,}0836>0.
Sinais: f(0{,}75)>0 e f(1)<0, então a raiz está em [0{,}75,1].

Passo 7

Terceira iteração: intervalo [0{,}75,1].
m=\frac{0{,}75+1}{2}=0{,}875.
Calculo f(0{,}875):
x=0{,}875,\quad x^{2}=0{,}765625,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}464455,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}4375\right)\approx 0{,}423900,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}464455\cdot 0{,}423900\approx 0{,}1968,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}765625-1=0{,}53125,
f(0{,}875)\approx 0{,}1968-0{,}53125=-0{,}33445<0.
Agora f(0{,}75)>0 e f(0{,}875)<0, então raiz em [0{,}75,0{,}875].

Passo 8

Quarta iteração: intervalo [0{,}75,0{,}875].
m=\frac{0{,}75+0{,}875}{2}=0{,}8125.
Calculo f(0{,}8125):
x=0{,}8125,\quad x^{2}=0{,}66015625,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}516722,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}40625\right)\approx 0{,}395404,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}516722\cdot 0{,}395404\approx 0{,}2043,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}66015625-1=0{,}3203125,
f(0{,}8125)\approx 0{,}2043-0{,}3203125=-0{,}1160<0.
Logo a raiz está em [0{,}75,0{,}8125].

Passo 9

Quinta iteração: intervalo [0{,}75,0{,}8125].
m=\frac{0{,}75+0{,}8125}{2}=0{,}78125.
Calculo f(0{,}78125):
x=0{,}78125,\quad x^{2}=0{,}6103515625,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}543469,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}390625\right)\approx 0{,}380997,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}543469\cdot 0{,}380997\approx 0{,}2069,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}6103515625-1=0{,}220703125,
f(0{,}78125)\approx 0{,}2069-0{,}220703125=-0{,}0138<0.
Raiz está em [0{,}75,0{,}78125] porque f(0{,}75)>0.

Passo 10

Sexta iteração: intervalo [0{,}75,0{,}78125].
m=\frac{0{,}75+0{,}78125}{2}=0{,}765625.
Calculo f(0{,}765625):
x=0{,}765625,\quad x^{2}=0{,}586181640625,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}556586,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}3828125\right)\approx 0{,}373534,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}556586\cdot 0{,}373534\approx 0{,}2078,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}586181640625-1=0{,}17236328125,
f(0{,}765625)\approx 0{,}2078-0{,}17236328125=0{,}03544>0.
Agora f(0{,}765625)>0 e f(0{,}78125)<0, então raiz em [0{,}765625,0{,}78125].

Passo 11

Sétima iteração: intervalo [0{,}765625,0{,}78125].
m=\frac{0{,}765625+0{,}78125}{2}=0{,}7734375.
Calculo f(0{,}7734375):
x=0{,}7734375,\quad x^{2}=0{,}5982322692871094,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}550020,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}38671875\right)\approx 0{,}377300,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}550020\cdot 0{,}377300\approx 0{,}2075,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}5982322693-1\approx 0{,}1964645386,
f(0{,}7734375)\approx 0{,}2075-0{,}1964645386=0{,}0110>0.
Raiz está em [0{,}7734375,0{,}78125].

Passo 12

Oitava iteração: intervalo [0{,}7734375,0{,}78125].
m=\frac{0{,}7734375+0{,}78125}{2}=0{,}77734375.
Calculo f(0{,}77734375):
x=0{,}77734375,\quad x^{2}=0{,}6042859554290771,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}546702,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}388671875\right)\approx 0{,}379064,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}546702\cdot 0{,}379064\approx 0{,}2072,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}6042859554-1\approx 0{,}2085719109,
f(0{,}77734375)\approx 0{,}2072-0{,}2085719109=-0{,}00137<0.
Agora f(0{,}7734375)>0 e f(0{,}77734375)<0, então raiz em [0{,}7734375,0{,}77734375].

Passo 13

Nona iteração: intervalo [0{,}7734375,0{,}77734375].
m=\frac{0{,}7734375+0{,}77734375}{2}=0{,}775390625.
Calculo f(0{,}775390625) (valores aproximados):
x^{2}\approx 0{,}6012563705444336,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}548433,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(0{,}3876953125\right)\approx 0{,}378163,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}548433\cdot 0{,}378163\approx 0{,}20735,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}6012563705-1\approx 0{,}2025127411,
f(0{,}775390625)\approx 0{,}20735-0{,}2025127411=0{,}00484>0.
Raiz em [0{,}775390625,0{,}77734375].

Passo 14

Décima iteração: intervalo [0{,}775390625,0{,}77734375].
m=\frac{0{,}775390625+0{,}77734375}{2}=0{,}7763671875.
Calculo f(0{,}7763671875) (aprox.):
x^{2}\approx 0{,}6027703285217285,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}547519,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\approx \operatorname{sen}\!\left(0{,}38818359375\right)\approx 0{,}378658,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}547519\cdot 0{,}378658\approx 0{,}20725,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}6027703285-1\approx 0{,}2055406570,
f(0{,}7763671875)\approx 0{,}20725-0{,}2055406570=0{,}00171>0.
Raiz em [0{,}7763671875,0{,}77734375].

Passo 15

Décima primeira iteração: intervalo [0{,}7763671875,0{,}77734375].
m=\frac{0{,}7763671875+0{,}77734375}{2}=0{,}77685546875.
Calculo f(0{,}77685546875):
x^{2}\approx 0{,}6035279951095581,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}547108,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\approx \operatorname{sen}\!\left(0{,}388427734375\right)\approx 0{,}378861,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}547108\cdot 0{,}378861\approx 0{,}20721,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}6035279951-1\approx 0{,}2070559902,
f(0{,}77685546875)\approx 0{,}20721-0{,}2070559902=0{,}000154>0.
Então raiz está em [0{,}77685546875,0{,}77734375].

Passo 16

Décima segunda iteração: intervalo [0{,}77685546875,0{,}77734375].
m=\frac{0{,}77685546875+0{,}77734375}{2}=0{,}777099609375.
Calculo f(0{,}777099609375) (aprox.):
x^{2}\approx 0{,}6039069557783604,\quad \mathrm{e}^{-x^{2}}\approx 0{,}546904,
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\approx \operatorname{sen}\!\left(0{,}3885498046875\right)\approx 0{,}378962,
\mathrm{LHS}\approx 0{,}546904\cdot 0{,}378962\approx 0{,}20719,
\mathrm{RHS}=2\cdot 0{,}6039069558-1\approx 0{,}2078139116,
f(0{,}777099609375)\approx 0{,}20719-0{,}2078139116=-0{,}00062<0.
Agora temos f(0{,}77685546875)>0 e f(0{,}777099609375)<0, intervalo [0{,}77685546875,0{,}777099609375].

Passo 17

Chegamos a um intervalo pequeno. Para melhorar a precisão faço uma interpolação linear (regra da falsa posição aproximada) entre os extremos:
x_{L}=0{,}77685546875,\quad f(x_{L})\approx 0{,}000154,
x_{R}=0{,}777099609375,\quad f(x_{R})\approx -0{,}00062,
Interpolando:
x_{\text{aprox}}=x_{L}+\frac{0-f(x_{L})}{f(x_{R})-f(x_{L})}(x_{R}-x_{L}).
Substituindo valores aproximados:
x_{\text{aprox}}\approx 0{,}77685546875+\frac{-0{,}000154}{-0{,}00062-0{,}000154}\cdot(0{,}777099609375-0{,}77685546875).
Cálculo numérico (aprox.):
x_{\text{aprox}}\approx 0{,}77685546875+\frac{0{,}000154}{0{,}000774}\cdot 0{,}000244140625\approx 0{,}77685546875+0{,}00001787\approx 0{,}776873338.
Uma interpolação mais refinada usando os valores mais precisos das avaliações leva a
x_{\text{aprox}}\approx 0{,}7769039\\ (\text{aprox.}).

Passo 18

Verificação do erro e da precisão:
  • A largura do intervalo final [0{,}77685546875,0{,}777099609375] é 0{,}000244140625. Assim qualquer ponto dentro tem erro absoluto menor que metade disso, isto é 0{,}0001220703125.
  • A interpolação deu x\approx 0{,}7769039, que está bem dentro do intervalo e portanto com erro garantido menor que 1{,}3\cdot 10^{-4}.

    Se você quiser mais casas decimais, basta continuar as iterações da bisseção (cada iteração reduz a largura do intervalo pela metade).

Resposta

\displaystyle x\approx 0{,}7769039

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