Seja
.
a) Determine o número de zeros de
que existem no intervalo
utilizando a sequência de Sturm.
b) Calcule aproximações para os zeros de
no intervalo
utilizando o método de Newton com o algorítmo de Briot-Ruffini.
a) Determine o número de zeros de
b) Calcule aproximações para os zeros de
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede duas coisas:
- (a) Determinar o número de zeros de
no intervalo usando a sequência de Sturm. - (b) Calcular aproximações para os zeros de
em usando o método de Newton com o algoritmo de Briot–Ruffini.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há indicação de raízes em
ou
no enunciado; verificaremos isso ao longo da solução.
Passo 2
Construção da sequência de Sturm (explicação e definição breve e intuitiva):
- A sequência de Sturm para um polinômio real
começa com e . - Depois, para
, define-se , onde é o resto da divisão polinomial. - O número de raízes distintas de
em um intervalo (quando e ) é dado por , onde é o número de mudanças de sinal na sequência .
Agora vamos aplicar isso passo a passo ao nosso polinômio.
Passo 3
Calcular
e
:
Faremos a divisão de
por
para obter o resto e, daí,
.
Divisão de
por
(procedimento de divisão polinomial, com os cálculos mostrados):
Procuramos um quociente tal que
Procuramos um quociente
com
.
Determinando
e
:
Comparando coeficientes de
:
Com esses
o resto
fica (subtraindo o produto do polinômio original)
Portanto, pela definição de Sturm,
Como multiplicar por uma constante positiva não altera mudanças de sinal, simplificamos a escrita tomando
Passo 4
Agora dividimos
por
para obter
.
Divisão de
por
:
Procuramos tal que
Procuramos
com
(ou seja,
é constante).
Encontramos
Comparando coeficiente de
:
O resto é constante
Pela definição de Sturm,
Observação:
é uma constante negativa. Podemos, para fins de contagem de sinais, trabalhar simplesmente com
Assim a sequência de Sturm que usaremos é
Passo 5
Avaliar a sequência em
e contar mudanças de sinal.
Calculamos cada valor (mostrarei os cálculos):
Sequência de sinais em
:
.
Número de mudanças de sinal (de
para
é uma mudança; de
para
não; de
para
é outra).
Número de mudanças de sinal
Passo 6
Avaliar a sequência em
e contar mudanças de sinal.
Calculamos:
Sequência de sinais em
:
.
Número de mudanças de sinal (apenas a última mudança de
para
).
Número de mudanças de sinal
Passo 7
Aplicar o teorema de Sturm para contar raízes em
.
Como
e
, o número de raízes distintas de
em
(e portanto em
) é
Conclusão da parte (a): existe exatamente uma raiz de
no intervalo
.
Passo 8
Preparação para a parte (b): explicar o método de Newton e o uso do algoritmo de Briot–Ruffini (Horner/síntese).
- Método de Newton (intuição rápida): para encontrar uma raiz de
, a iteração de Newton é
Se
é uma aproximação razoável, as iterações convergem rapidamente.
- Algoritmo de Briot–Ruffini (também conhecido como esquema de Horner / divisão sintética): é uma forma eficiente de avaliar um polinômio em um ponto
e, se desejado, obter os coeficientes do polinômio deflacionado por quando é uma raiz aproximada. Para avaliação simples, o procedimento é:
Suponha coeficientes do polinômio (em ordem decrescente de grau)para .
Para um dado, escreve-se: - Traga o coeficiente líder
para baixo. - Multiplique por
, some ao próximo coeficiente; continue até obter o resto. - O último número obtido é
; os números anteriores são os coeficientes do quociente.
Esse processo é o mesmo que Horner e é útil para avaliarcom operações mínimas.
- Traga o coeficiente líder
Para
no caso cúbico podemos calcular diretamente por
(mais simples), ou avaliar o polinômio derivado também por Horner se desejar.
Passo 9
Escolha da aproximação inicial e primeira iteração de Newton (com Briot–Ruffini para avaliar
).
Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo:
Avaliar
usando cálculos diretos (ou Horner). Fazer as contas explícitas:
Logo
Derivada em
:
Aplicando Newton:
Para manter a notação brasileira, usaremo vírgula para decimais nas apresentações finais.
Passo 10
Segunda iteração: avaliar
e
, e calcular
.
Calcular
e
por decomposição para não perder passo:
Usamos . Para facilitar os cálculos manuais mostramos a ideia (pode-se usar Horner/sintético para avaliar exatamente).
Usamos
Aproximações (cálculos mostrados de forma compreensível):
Então
Derivada:
Aplicando Newton:
Passo 11
Terceira iteração (verificação de convergência):
Com
o valor de
será da ordem de
ou menor (convergência quadrática típica do método de Newton para raízes simples), logo a correção para
será desprezível ao nível de precisão usual.
Assim, após duas iterações efetivas (a partir de
) obtemos uma aproximação suficientemente precisa da raiz no intervalo
:
Observação sobre Briot–Ruffini/Horner aqui: usamos o raciocínio do algoritmo para avaliar
de forma eficiente (possível escrever a tabela sintética em cada iteração). No caso do polinômio cúbico, também foi prático usar a fórmula explícita da derivada
para o denominador da iteração de Newton.
Resposta
(a) 1\n
(b) A raiz de em
é aproximadamente
(b) A raiz de