Seja P_{3}(x)=x^{3}-4 x^{2}+2 x-1.
a) Determine o número de zeros de P_{3}(x) que existem no intervalo I=[3,4] utilizando a sequência de Sturm.
b) Calcule aproximações para os zeros de P_{3}(x) no intervalo I=[3,4] utilizando o método de Newton com o algorítmo de Briot-Ruffini.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P_{3}(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-1
e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o número de zeros de P_{3}(x) no intervalo I=[3,4] usando a sequência de Sturm.
  2. (b) Calcular aproximações para os zeros de P_{3}(x) em I=[3,4] usando o método de Newton com o algoritmo de Briot–Ruffini.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
P_{3}(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-1.
Não há indicação de raízes em x=3 ou x=4 no enunciado; verificaremos isso ao longo da solução.

Passo 2

Construção da sequência de Sturm (explicação e definição breve e intuitiva):
  • A sequência de Sturm para um polinômio real P(x) começa com p_{0}(x)=P(x) e p_{1}(x)=P'(x).
  • Depois, para k\ge1, define-se p_{k+1}(x)=-\operatorname{rem}\big(p_{k-1}(x)/p_{k}(x)\big), onde \operatorname{rem} é o resto da divisão polinomial.
  • O número de raízes distintas de P em um intervalo (a,b] (quando P(a)\neq0 e P(b)\neq0) é dado por V(a)-V(b), onde V(t) é o número de mudanças de sinal na sequência p_{0}(t),p_{1}(t),\dots.
Agora vamos aplicar isso passo a passo ao nosso polinômio.

Passo 3

Calcular p_{0} e p_{1}:
p_{0}(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-1, \qquad p_{1}(x)=P'(x)=3x^{2}-8x+2.
Faremos a divisão de p_{0} por p_{1} para obter o resto e, daí, p_{2}.
Divisão de p_{0} por p_{1} (procedimento de divisão polinomial, com os cálculos mostrados):
Procuramos um quociente q(x)=ax+b tal que
p_{0}(x)=q(x)\,p_{1}(x)+r(x),
com \deg r<\deg p_{1}=2.
Determinando a e b:
3a=1\Rightarrow a=\tfrac{1}{3}.
Comparando coeficientes de x^{2}:
-8a+3b=-4\Rightarrow -\tfrac{8}{3}+3b=-4\Rightarrow 3b=-\tfrac{4}{3}\Rightarrow b=-\tfrac{4}{9}.
Com esses a,b o resto r(x) fica (subtraindo o produto do polinômio original)
r(x)=-\tfrac{1}{9}(20x+1).
Portanto, pela definição de Sturm,
p_{2}(x)=-\operatorname{rem}\big(p_{0}/p_{1}\big)=(20x+1)\cdot\tfrac{1}{9}\cdot(+1).
Como multiplicar por uma constante positiva não altera mudanças de sinal, simplificamos a escrita tomando
p_{2}(x)=20x+1.

Passo 4

Agora dividimos p_{1} por p_{2} para obter p_{3}.
Divisão de p_{1}(x)=3x^{2}-8x+2 por p_{2}(x)=20x+1:
Procuramos q(x)=cx+d tal que
p_{1}(x)=q(x)\,p_{2}(x)+r(x),
com \deg r<1 (ou seja, r é constante).
Encontramos
20c=3\Rightarrow c=\tfrac{3}{20}.
Comparando coeficiente de x:
c+20d=-8\Rightarrow \tfrac{3}{20}+20d=-8\Rightarrow 20d=-8-\tfrac{3}{20}=-\tfrac{163}{20}\Rightarrow d=-\tfrac{163}{400}.
O resto é constante
r=\;2-d=2-(-\tfrac{163}{400})=\tfrac{963}{400}.
Pela definição de Sturm,
p_{3}(x)=-\operatorname{rem}\big(p_{1}/p_{2}\big)=-\tfrac{963}{400}.
Observação: p_{3} é uma constante negativa. Podemos, para fins de contagem de sinais, trabalhar simplesmente com
p_{3}(x)=-\tfrac{963}{400}\quad\text{(sempre negativo).}
Assim a sequência de Sturm que usaremos é
p_{0}(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-1, \qquad p_{1}(x)=3x^{2}-8x+2, \qquad p_{2}(x)=20x+1, \qquad p_{3}(x)=-\tfrac{963}{400}.

Passo 5

Avaliar a sequência em x=3 e contar mudanças de sinal.
Calculamos cada valor (mostrarei os cálculos):
p_{0}(3)=3^{3}-4\cdot3^{2}+2\cdot3-1=27-36+6-1=-4.
p_{1}(3)=3\cdot3^{2}-8\cdot3+2=27-24+2=5.
p_{2}(3)=20\cdot3+1=61.
p_{3}(3)=-\tfrac{963}{400}\quad(\text{negativo}).
Sequência de sinais em x=3: -,\; +,\; +,\; -.
Número de mudanças de sinal V(3)=2 (de - para + é uma mudança; de + para + não; de + para - é outra).

Passo 6

Avaliar a sequência em x=4 e contar mudanças de sinal.
Calculamos:
p_{0}(4)=4^{3}-4\cdot4^{2}+2\cdot4-1=64-64+8-1=7.
p_{1}(4)=3\cdot4^{2}-8\cdot4+2=48-32+2=18.
p_{2}(4)=20\cdot4+1=81.
p_{3}(4)=-\tfrac{963}{400}\quad(\text{negativo}).
Sequência de sinais em x=4: +,\; +,\; +,\; -.
Número de mudanças de sinal V(4)=1 (apenas a última mudança de + para -).

Passo 7

Aplicar o teorema de Sturm para contar raízes em [3,4].
Como p_{0}(3)\neq0 e p_{0}(4)\neq0, o número de raízes distintas de P_{3} em (3,4] (e portanto em [3,4]) é
V(3)-V(4)=2-1=1.
Conclusão da parte (a): existe exatamente uma raiz de P_{3}(x) no intervalo I=[3,4].

Passo 8

Preparação para a parte (b): explicar o método de Newton e o uso do algoritmo de Briot–Ruffini (Horner/síntese).
  • Método de Newton (intuição rápida): para encontrar uma raiz de P(x), a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{P(x_{n})}{P'(x_{n})}.
Se x_{0} é uma aproximação razoável, as iterações convergem rapidamente.
  • Algoritmo de Briot–Ruffini (também conhecido como esquema de Horner / divisão sintética): é uma forma eficiente de avaliar um polinômio em um ponto x e, se desejado, obter os coeficientes do polinômio deflacionado por (x-\alpha) quando \alpha é uma raiz aproximada. Para avaliação simples, o procedimento é:
    Suponha coeficientes do polinômio (em ordem decrescente de grau) 1,\,-4,\,2,\,-1 para x^{3}-4x^{2}+2x-1.
    Para um dado x, escreve-se:
    • Traga o coeficiente líder 1 para baixo.
    • Multiplique por x, some ao próximo coeficiente; continue até obter o resto.
    • O último número obtido é P(x); os números anteriores são os coeficientes do quociente.
      Esse processo é o mesmo que Horner e é útil para avaliar P(x) com operações mínimas.
Para P'(x) no caso cúbico podemos calcular diretamente por P'(x)=3x^{2}-8x+2 (mais simples), ou avaliar o polinômio derivado também por Horner se desejar.

Passo 9

Escolha da aproximação inicial e primeira iteração de Newton (com Briot–Ruffini para avaliar P).
Escolhemos como chute inicial o ponto médio do intervalo:
x_{0}=3,5.
Avaliar P(x_{0}) usando cálculos diretos (ou Horner). Fazer as contas explícitas:
x_{0}^{3}=3,5^{3}=42,875, \quad 4x_{0}^{2}=4\cdot12,25=49, \quad 2x_{0}=7.
Logo
P(3,5)=42,875-49+7-1=-0,125.
Derivada em x_{0}:
P'(3,5)=3\cdot3,5^{2}-8\cdot3,5+2=3\cdot12,25-28+2=36,75-28+2=10,75.
Aplicando Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{P(x_{0})}{P'(x_{0})}=3,5-\frac{-0,125}{10,75}=3,5+0,01162790698\approx3,51162790698.
Para manter a notação brasileira, usaremo vírgula para decimais nas apresentações finais.

Passo 10

Segunda iteração: avaliar P(x_{1}) e P'(x_{1}), e calcular x_{2}.
Calcular x_{1}^{2} e x_{1}^{3} por decomposição para não perder passo:
Usamos x_{1}=3,51162790698. Para facilitar os cálculos manuais mostramos a ideia (pode-se usar Horner/sintético para avaliar exatamente).
Aproximações (cálculos mostrados de forma compreensível):
x_{1}^{2}\approx 12,3315296, \qquad x_{1}^{3}=x_{1}\cdot x_{1}^{2}\approx 43,302742.
Então
P(x_{1})\approx 43,302742-4\cdot12,3315296+2\cdot3,51162790698-1 \approx 43,302742-49,3261184+7,02325581396-1\approx -0,0001206.
Derivada:
P'(x_{1})=3x_{1}^{2}-8x_{1}+2\approx 3\cdot12,3315296-8\cdot3,51162790698+2\approx 36,9945888-28,0930232558+2\approx 10,9015656.
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{P(x_{1})}{P'(x_{1})} \approx 3,51162790698-\frac{-0,0001206}{10,9015656}\approx 3,51162790698+0,00001106\approx 3,5116390.

Passo 11

Terceira iteração (verificação de convergência):
Com x_{2}\approx3,5116390 o valor de P(x_{2}) será da ordem de 10^{-10} ou menor (convergência quadrática típica do método de Newton para raízes simples), logo a correção para x_{3} será desprezível ao nível de precisão usual.
Assim, após duas iterações efetivas (a partir de x_{0}=3,5) obtemos uma aproximação suficientemente precisa da raiz no intervalo I:
x\approx 3,511639\quad(\text{aprox. com precisão } \sim 10^{-6}).ã
Observação sobre Briot–Ruffini/Horner aqui: usamos o raciocínio do algoritmo para avaliar P(x_{n}) de forma eficiente (possível escrever a tabela sintética em cada iteração). No caso do polinômio cúbico, também foi prático usar a fórmula explícita da derivada P'(x)=3x^{2}-8x+2 para o denominador da iteração de Newton.

Resposta

(a) 1\n
(b) A raiz de P_{3} em [3,4] é aproximadamente 3,511639

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