Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas: (1) determinar os quatro primeiros termos da sequência, ou seja
; (2) calcular
, se esse limite existir. As informações relevantes são apenas a fórmula explícita de
e que
é a base dos logaritmos naturais (um número fixo positivo, aproximadamente
).
Passo 2
Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo
diretamente na fórmula
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Esses são os quatro primeiros termos em forma exata.
Passo 3
Para intuição, vou também dar aproximações decimais rápidas (usando
, aqui apresentadas com vírgula conforme o costume local):
Calculemos
,
,
,
aproximadamente:
Agora as aproximações:
Isso já dá uma forte intuição: os termos estão caindo rapidamente para zero.
Passo 4
Agora vamos analisar o comportamento para
grande e mostrar que
. Primeiro escrevo o denominador de forma que fique claro que é uma potência:
Assim
Aqui o numerador cresce como uma função linear de
(proporcional a
) e o denominador cresce geometricamente como
, onde
. Intuitivamente, potências exponenciais com base maior que 1 crescem muito mais rápido que qualquer polinômio; isso leva o quociente a zero. Vou formalizar essa ideia com um argumento simples.
Passo 5
Usarei a razão entre termos consecutivos para mostrar que a sequência tende a zero. Calcule a razão
Note que
quando
. Portanto
Como
(lembre que
), para
suficientemente grande a razão
é menor que um número fixo menor que 1, o que faz a sequência decrescer geometricamente a partir de certo ponto. Uma consequência padrão desse fato é que a sequência
converge para
. (Raciocínio equivalente: se a razão entre termos tende a uma constante menor que 1, os termos vão a zero.)
Passo 6
Podemos também dar uma demonstração alternativa muito direta: para qualquer
vale
. Aqui basta tomar
e multiplicar por
(constante não altera o limite), obtendo
. Assim