Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}, caso exista.
u_{n}=\frac{3 n}{e^{2 n}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
u_{n}=\frac{3n}{e^{2n}}
e pede duas coisas: (1) determinar os quatro primeiros termos da sequência, ou seja u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}; (2) calcular \lim_{n\to\infty} u_{n}, se esse limite existir. As informações relevantes são apenas a fórmula explícita de u_{n} e que e é a base dos logaritmos naturais (um número fixo positivo, aproximadamente 2,71828).

Passo 2

Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4 diretamente na fórmula \displaystyle u_{n}=\frac{3n}{e^{2n}}.
Para n=1:
u_{1}=\frac{3\cdot 1}{e^{2\cdot 1}}=\frac{3}{e^{2}}.
Para n=2:
u_{2}=\frac{3\cdot 2}{e^{2\cdot 2}}=\frac{6}{e^{4}}.
Para n=3:
u_{3}=\frac{3\cdot 3}{e^{2\cdot 3}}=\frac{9}{e^{6}}.
Para n=4:
u_{4}=\frac{3\cdot 4}{e^{2\cdot 4}}=\frac{12}{e^{8}}.
Esses são os quatro primeiros termos em forma exata.

Passo 3

Para intuição, vou também dar aproximações decimais rápidas (usando e\approx 2,71828, aqui apresentadas com vírgula conforme o costume local):
Calculemos e^{2}, e^{4}, e^{6}, e^{8} aproximadamente:
e^{2}\approx 7,389,\qquad e^{4}\approx 54,598,\qquad e^{6}\approx 403,429,\qquad e^{8}\approx 2980,958.
Agora as aproximações:
u_{1}\approx \frac{3}{7,389}\approx 0,406,
u_{2}\approx \frac{6}{54,598}\approx 0,110,
u_{3}\approx \frac{9}{403,429}\approx 0,0223,
u_{4}\approx \frac{12}{2\,980,958}\approx 0,00403.
Isso já dá uma forte intuição: os termos estão caindo rapidamente para zero.

Passo 4

Agora vamos analisar o comportamento para n grande e mostrar que \lim_{n\to\infty} u_{n}=0. Primeiro escrevo o denominador de forma que fique claro que é uma potência:
e^{2n}=(e^{2})^{n}.
Assim
u_{n}=\frac{3n}{(e^{2})^{n}}.
Aqui o numerador cresce como uma função linear de n (proporcional a n) e o denominador cresce geometricamente como (e^{2})^{n}, onde e^{2}>1. Intuitivamente, potências exponenciais com base maior que 1 crescem muito mais rápido que qualquer polinômio; isso leva o quociente a zero. Vou formalizar essa ideia com um argumento simples.

Passo 5

Usarei a razão entre termos consecutivos para mostrar que a sequência tende a zero. Calcule a razão
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} =\frac{\dfrac{3(n+1)}{e^{2(n+1)}}}{\dfrac{3n}{e^{2n}}} =\frac{n+1}{n}\cdot e^{-2}.
Note que \dfrac{n+1}{n}\to 1 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=1\cdot e^{-2}=e^{-2}.
Como e^{-2}<1 (lembre que e^{2}>1), para n suficientemente grande a razão \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} é menor que um número fixo menor que 1, o que faz a sequência decrescer geometricamente a partir de certo ponto. Uma consequência padrão desse fato é que a sequência u_{n} converge para 0. (Raciocínio equivalente: se a razão entre termos tende a uma constante menor que 1, os termos vão a zero.)

Passo 6

Podemos também dar uma demonstração alternativa muito direta: para qualquer a>1 vale \lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{a^{n}}=0. Aqui basta tomar a=e^{2}>1 e multiplicar por 3 (constante não altera o limite), obtendo \lim_{n\to\infty}\dfrac{3n}{(e^{2})^{n}}=0. Assim
\lim_{n\to\infty} u_{n}=0.

Resposta

u_{1}=\dfrac{3}{e^{2}},\;u_{2}=\dfrac{6}{e^{4}},\;u_{3}=\dfrac{9}{e^{6}},\;u_{4}=\dfrac{12}{e^{8}}
\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_{n}=0

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