Verifique que as funçòes dadas sìo soluçōes da equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função abaixo satisfaz a equação de Laplace
:
Informações dadas:
A pergunta explícita é: verificar se
para essa função (isto é, se
é harmônica).
Passo 2
Vamos lembrar (de forma didática) as ferramentas que usaremos:
- Definição de laplaciano: para
,
Isto significa que precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e a
e somá-las.
- Regras de diferenciação que usaremos:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
então . - Para
e : e .
- Para organizar a conta, é útil escrever
como produto de duas funções:
então
Vou calcular derivadas de
e
separadamente e depois aplicar produto e somar.
Passo 3
Calcular derivadas de
e
.
Para
, pela regra da cadeia:
Agora as segundas derivadas:
Portanto o laplaciano de
é
Para
:
Segundas derivadas:
Logo
Também vamos precisar do produto escalar dos gradientes
:
Então
Passo 4
Usamos a fórmula geral para o laplaciano de um produto
:
Agora substituímos as expressões que obtivemos nos passos anteriores.
Calcule cada termo:
-
:
-
:
-
:
Somando:
Agrupando os termos que multiplicam
:
Passo 5
Interpretando e verificando se é zero: a expressão obtida para
é
Para que
fosse solução da equação de Laplace seria necessário que essa expressão fosse
para todo
. Mas a expressão do parêntese não é identicamente zero como função de
— existem pontos em que ela é diferente de zero.
Por exemplo, peguemos
. Nesse ponto
,
, portanto o termo que envolve
desaparece e ficamos com
Logo
, isto é,
não satisfaz
em geral.
Observação pedagógica: se no lugar de
tivesse vindo
, isto é, se
então
e
, e também
, de modo que os termos se cancelariam e
seria harmônica. Por isso é comum ver a versão com expoente
em exercícios sobre funções harmônicas.
Resposta
A função
não satisfaz
em geral; por exemplo
.