Verifique que as funçòes dadas sìo soluçōes da equação de Laplace u_{x x}+u_{y y}=0
u=e^{x^{3}-y^{3}} \operatorname{sen} 2 x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função abaixo satisfaz a equação de Laplace u_{xx}+u_{yy}=0:
u(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}}\operatorname{sen}(2xy).
Informações dadas:
u(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}}\operatorname{sen}(2xy).
A pergunta explícita é: verificar se \;u_{xx}+u_{yy}=0\; para essa função (isto é, se u é harmônica).

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática) as ferramentas que usaremos:
  1. Definição de laplaciano: para u(x,y),
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}.
Isto significa que precisamos calcular as segundas derivadas parciais de u em relação a x e a y e somá-las.
  1. Regras de diferenciação que usaremos:
  • Regra do produto: (FG)_x = F_x G + F G_x.
  • Regra da cadeia: se F(x)=e^{g(x)} então F' = g'(x) e^{g(x)}.
  • Para \sin e \cos: \dfrac{d}{dx}\sin(h(x)) = h'(x)\cos(h(x)) e \dfrac{d}{dx}\cos(h(x)) = -h'(x)\sin(h(x)).
  1. Para organizar a conta, é útil escrever u como produto de duas funções:
E(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}},\qquad S(x,y)=\operatorname{sen}(2xy),
então
u(x,y)=E(x,y)\,S(x,y).
Vou calcular derivadas de E e S separadamente e depois aplicar produto e somar.

Passo 3

Calcular derivadas de E e S.
Para E(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}}, pela regra da cadeia:
E_x = 3x^{2}E,\qquad E_y = -3y^{2}E.
Agora as segundas derivadas:
E_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}E) = 6xE + 3x^{2}E_x = \bigl(6x+9x^{4}\bigr)E,
E_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-3y^{2}E) = -6yE -3y^{2}E_y = \bigl(-6y+9y^{4}\bigr)E.
Portanto o laplaciano de E é
\Delta E = E_{xx}+E_{yy} = \bigl(6x+9x^{4}-6y+9y^{4}\bigr)E.
Para S(x,y)=\operatorname{sen}(2xy):
S_x = 2y\cos(2xy),\qquad S_y = 2x\cos(2xy).
Segundas derivadas:
S_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2y\cos(2xy)) = 2y\cdot(-\sin(2xy))\cdot 2y = -4y^{2}\operatorname{sen}(2xy) = -4y^{2}S,
S_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2x\cos(2xy)) = 2x\cdot(-\sin(2xy))\cdot 2x = -4x^{2}\operatorname{sen}(2xy) = -4x^{2}S.
Logo
\Delta S = S_{xx}+S_{yy} = -4(x^{2}+y^{2})S.
Também vamos precisar do produto escalar dos gradientes \nabla E\cdot\nabla S:
\nabla E = (E_x,E_y) = (3x^{2}E,\,-3y^{2}E),
\nabla S = (S_x,S_y) = (2y\cos(2xy),\,2x\cos(2xy)).
Então
\nabla E\cdot\nabla S = 3x^{2}E\cdot 2y\cos(2xy) + (-3y^{2}E)\cdot 2x\cos(2xy) = 6E\cos(2xy)\,xy(x-y).

Passo 4

Usamos a fórmula geral para o laplaciano de um produto u=ES:
\Delta(ES)=E\Delta S + 2\nabla E\cdot\nabla S + S\Delta E.
Agora substituímos as expressões que obtivemos nos passos anteriores.
Calcule cada termo:
  1. E\Delta S:
E\Delta S = E\bigl(-4(x^{2}+y^{2})S\bigr) = -4(x^{2}+y^{2})E S.
  1. 2\nabla E\cdot\nabla S:
2\nabla E\cdot\nabla S = 2\cdot \bigl(6E\cos(2xy)\,xy(x-y)\bigr) = 12E\cos(2xy)\,xy(x-y).
  1. S\Delta E:
S\Delta E = S\cdot \bigl(6x+9x^{4}-6y+9y^{4}\bigr)E = \bigl(6x+9x^{4}-6y+9y^{4}\bigr)E S.
Somando:
\Delta u = \Delta(ES) = E\Bigl[\bigl(6x+9x^{4}-6y+9y^{4}\bigr)S -4(x^{2}+y^{2})S \Bigr] +12E\cos(2xy)\,xy(x-y).
Agrupando os termos que multiplicam S=\operatorname{sen}(2xy):
\Delta u = E\Bigl(\bigl(9(x^{4}+y^{4})+6(x-y)-4(x^{2}+y^{2})\bigr)S +12xy(x-y)\cos(2xy)\Bigr).

Passo 5

Interpretando e verificando se é zero: a expressão obtida para \Delta u é
\Delta u = e^{x^{3}-y^{3}}\Bigl(\bigl(9(x^{4}+y^{4})+6(x-y)-4(x^{2}+y^{2})\bigr)\operatorname{sen}(2xy) +12xy(x-y)\cos(2xy)\Bigr).
Para que u fosse solução da equação de Laplace seria necessário que essa expressão fosse 0 para todo (x,y). Mas a expressão do parêntese não é identicamente zero como função de (x,y) — existem pontos em que ela é diferente de zero.
Por exemplo, peguemos (x,y)=(1,1). Nesse ponto xy=1, x-y=0, portanto o termo que envolve \cos(2xy) desaparece e ficamos com
\Delta u(1,1) = e^{1^{3}-1^{3}}\Bigl(\bigl(9(1+1)+6(0)-4(1+1)\bigr)\operatorname{sen}(2)\Bigr) = e^{0}\bigl(18-8\bigr)\operatorname{sen}(2)=10\operatorname{sen}(2)\neq 0.
Logo \Delta u(1,1)\neq 0, isto é, u não satisfaz \Delta u=0 em geral.
Observação pedagógica: se no lugar de x^{3}-y^{3} tivesse vindo x^{2}-y^{2}, isto é, se
u(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}\operatorname{sen}(2xy),
então \Delta E = 4(x^{2}+y^{2})E e \Delta S = -4(x^{2}+y^{2})S, e também \nabla E\cdot\nabla S=0, de modo que os termos se cancelariam e u seria harmônica. Por isso é comum ver a versão com expoente x^{2}-y^{2} em exercícios sobre funções harmônicas.

Resposta

A função u(x,y)=e^{x^{3}-y^{3}}\operatorname{sen}(2xy) não satisfaz \Delta u=0 em geral; por exemplo \Delta u(1,1)=10\operatorname{sen}(2)\neq 0.

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