Resolva (Mostre os detalhes):
u_{x x}+7 u_{x y}+10 u_{y y}=0

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação diferencial parcial
u_{x x}+7 u_{x y}+10 u_{y y}=0.
O que nos é dado: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes em duas variáveis x,y. O que se pede: encontrar a solução geral u(x,y). Informações relevantes do enunciado: os coeficientes das derivadas são A=1 (para u_{xx}), B=7 (para u_{xy}) e C=10 (para u_{yy}).

Passo 2

Classificação da equação e obtenção das direções características. Para uma equação do tipo A u_{x x}+B u_{x y}+C u_{y y}=0 usamos o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
Aqui A=1, B=7, C=10, logo
\Delta = 7^{2}-4\cdot1\cdot10 = 49-40 = 9>0.
Como \Delta>0, a equação é hiperbólica: existem duas famílias reais de características. As inclinações p=\dfrac{dy}{dx} das características satisfazem a equação quadrática
A p^{2}-B p + C = 0.
Substituindo os coeficientes:
1\cdot p^{2}-7 p + 10 = 0.
Resolvendo a quadrática (fatorando ou fórmula de Bhaskara):
p^{2}-7p+10=(p-5)(p-2)=0,
portanto
p_{1}=5,\qquad p_{2}=2.
Integrando dy/dx=p obtemos as duas famílias de curvas características:
y-5x=\text{constante},\qquad y-2x=\text{constante}.

Passo 3

Escolha de novas variáveis (mudança para a forma canônica). Defino variáveis que sejam constantes ao longo das características:
\xi = y-5x,\qquad \eta = y-2x.
Escrevo u(x,y)=U(\xi,\eta). Vou usar a regra da cadeia para expressar as derivadas de u em termos de derivadas de U. Primeiro os coeficientes das derivadas de \xi e \eta:
\xi_x = -5,\\ \xi_y = 1;\qquad \eta_x = -2,\\ \eta_y = 1.
Pelo teorema da cadeia,
u_x = U_{\xi}\,\xi_x + U_{\eta}\,\eta_x = -5U_{\xi}-2U_{\eta},
u_y = U_{\xi}\,\xi_y + U_{\eta}\,\eta_y = U_{\xi}+U_{\eta}.

Passo 4

Calcular as segundas derivadas usando novamente a cadeia (vou mostrar passo a passo). Primeiro derivadas parciais cruzadas das funções U_{\xi} e U_{\eta} em relação a x e y:
(U_{\xi})_x = U_{\xi\xi}\,\xi_x + U_{\xi\eta}\,\eta_x = -5U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta},
(U_{\eta})_x = U_{\eta\xi}\,\xi_x + U_{\eta\eta}\,\eta_x = -5U_{\eta\xi}-2U_{\eta\eta},
(U_{\xi})_y = U_{\xi\xi}\,\xi_y + U_{\xi\eta}\,\eta_y = U_{\xi\xi}+U_{\xi\eta},
(U_{\eta})_y = U_{\eta\xi}\,\xi_y + U_{\eta\eta}\,\eta_y = U_{\eta\xi}+U_{\eta\eta}.
Agora as segundas derivadas de u:
Para u_{xx}:
u_{xx} = (-5U_{\xi}-2U_{\eta})_x = -5(U_{\xi})_x -2(U_{\eta})_x.
Substituindo acima:
u_{xx} = -5(-5U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}) -2(-5U_{\eta\xi}-2U_{\eta\eta})
=25U_{\xi\xi}+10U_{\xi\eta}+10U_{\eta\xi}+4U_{\eta\eta}.
Como U_{\xi\eta}=U_{\eta\xi}, obtemos
u_{xx} = 25U_{\xi\xi}+20U_{\xi\eta}+4U_{\eta\eta}.
Para u_{xy}:
u_{xy} = (-5U_{\xi}-2U_{\eta})_y = -5(U_{\xi})_y -2(U_{\eta})_y
= -5(U_{\xi\xi}+U_{\xi\eta}) -2(U_{\eta\xi}+U_{\eta\eta})
= -5U_{\xi\xi}-7U_{\xi\eta}-2U_{\eta\eta}.
Para u_{yy}:
u_{yy} = (U_{\xi}+U_{\eta})_y = (U_{\xi})_y + (U_{\eta})_y
= (U_{\xi\xi}+U_{\xi\eta}) + (U_{\eta\xi}+U_{\eta\eta})
= U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}.

Passo 5

Substituir u_{xx},u_{xy},u_{yy} na equação original. A equação é
u_{xx}+7u_{xy}+10u_{yy}=0.
Substituindo as expressões obtidas:
(25U_{\xi\xi}+20U_{\xi\eta}+4U_{\eta\eta}) +7(-5U_{\xi\xi}-7U_{\xi\eta}-2U_{\eta\eta}) +10(U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta})=0.
Agora somo coeficiente a coeficiente:
Coeficiente de U_{\xi\xi}:
25 + 7(-5) + 10(1) = 25 -35 +10 = 0.
Coeficiente de U_{\xi\eta}:
20 + 7(-7) + 10(2) = 20 -49 +20 = -9.
Coeficiente de U_{\eta\eta}:
4 + 7(-2) + 10(1) = 4 -14 +10 = 0.
Logo a equação reduz-se a
-9\,U_{\xi\eta}=0,
ou, simplificando,
U_{\xi\eta}=0.

Passo 6

Resolver a equação reduzida U_{\xi\eta}=0. Interpretação: a derivada parcial de U em relação a \xi e depois \eta é zero. Isso significa que, para cada \eta fixo, U_{\xi} é constante em \eta; mais diretamente podemos integrar:
U_{\xi\eta}=0 \Longrightarrow (U_{\xi})_{\eta}=0 \Longrightarrow U_{\xi}(\xi,\eta)=F'(\xi)
para alguma função F que depende só de \xi. Integrando em relação a \xi (ou alternativamente integrar U_{\eta} em \eta), obtemos a forma geral
U(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta),
onde F e G são funções arbitrárias (duas funções arbitrárias aparecem porque a equação de segunda ordem tem duas “constantes” funcionais).

Passo 7

Voltar às variáveis originais x,y. Lembrando \xi=y-5x e \eta=y-2x, a solução geral fica
u(x,y)=F(y-5x)+G(y-2x),
onde F e G são funções arbitrárias suficientemente suaves (por exemplo C^{2}).

Resposta

u(x,y)=F(y-5x)+G(y-2x),
onde F e G são funções arbitrárias.

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