Resolva (Mostre os detalhes):
Passo 1
Enunciado: Resolver a equação diferencial parcial
O que nos é dado: a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes em duas variáveis
. O que se pede: encontrar a solução geral
. Informações relevantes do enunciado: os coeficientes das derivadas são
(para
),
(para
) e
(para
).
Passo 2
Classificação da equação e obtenção das direções características. Para uma equação do tipo
usamos o discriminante
Aqui
,
,
, logo
Como
, a equação é hiperbólica: existem duas famílias reais de características. As inclinações
das características satisfazem a equação quadrática
Substituindo os coeficientes:
Resolvendo a quadrática (fatorando ou fórmula de Bhaskara):
portanto
Integrando
obtemos as duas famílias de curvas características:
Passo 3
Escolha de novas variáveis (mudança para a forma canônica). Defino variáveis que sejam constantes ao longo das características:
Escrevo
. Vou usar a regra da cadeia para expressar as derivadas de
em termos de derivadas de
. Primeiro os coeficientes das derivadas de
e
:
Pelo teorema da cadeia,
Passo 4
Calcular as segundas derivadas usando novamente a cadeia (vou mostrar passo a passo). Primeiro derivadas parciais cruzadas das funções
e
em relação a
e
:
Agora as segundas derivadas de
:
Para
:
Substituindo acima:
Como
, obtemos
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituir
na equação original. A equação é
Substituindo as expressões obtidas:
Agora somo coeficiente a coeficiente:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Logo a equação reduz-se a
ou, simplificando,
Passo 6
Resolver a equação reduzida
. Interpretação: a derivada parcial de
em relação a
e depois
é zero. Isso significa que, para cada
fixo,
é constante em
; mais diretamente podemos integrar:
para alguma função
que depende só de
. Integrando em relação a
(ou alternativamente integrar
em
), obtemos a forma geral
onde
e
são funções arbitrárias (duas funções arbitrárias aparecem porque a equação de segunda ordem tem duas “constantes” funcionais).
Passo 7
Voltar às variáveis originais
. Lembrando
e
, a solução geral fica
onde
e
são funções arbitrárias suficientemente suaves (por exemplo
).
Resposta
onde
e
são funções arbitrárias.