Determine as quatro raízes quartas de z=-8+8 i \sqrt{3}. Expresse as raízes na forma polar.

Passo 1

O enunciado pede as quatro raízes quartas de z=-8+8i\sqrt{3}, ou seja, as soluções de
\omega^4 = z.
O conteúdo principal é usar a forma polar de z e aplicar a fórmula de De Moivre para raízes: se
z = R\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr),
então suas n-ésimas raízes são
\omega_k = R^{1/n}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{\theta+2\pi k}{n}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{\theta+2\pi k}{n}\bigr)\Bigr],\quad k=0,1,\dots,n-1.

Passo 2

Calculamos o módulo e o argumento de z.
R = |z| = \sqrt{(-8)^2+(8\sqrt3)^2} =\sqrt{64+64\cdot3} =\sqrt{256} =16.
Para o argumento \theta, como \Re z=-8<0 e \Im z=8\sqrt3>0, está no 2.º quadrante e
\tan\theta = \frac{8\sqrt3}{-8} = -\sqrt3
implica \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Logo, em forma polar:
z = 16\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Para as raízes quartas n=4, temos
R^{1/4} = 16^{1/4} = 2,
e
\omega_k = 2\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\bigr)+i\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\bigr)\Bigr], \quad k=0,1,2,3.

Passo 5

Calculando \theta_k = \tfrac{2\pi/3+2\pi k}{4} para k=0,1,2,3, obtemos:
\theta_0 = \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6},\quad \theta_1 = \frac{2\pi/3 + 2\pi}{4} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3},
\theta_2 = \frac{2\pi/3 + 4\pi}{4} = \frac{14\pi}{6}\div 2 = \frac{7\pi}{6},\quad \theta_3 = \frac{2\pi/3 + 6\pi}{4} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}.

Resposta

As quatro raízes quartas de z, em forma polar \rho(\cos\theta+i\sin\theta), são: \displaystyle 2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr) \displaystyle 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr) \displaystyle 2\bigl(\cos\tfrac{7\pi}{6}+i\sin\tfrac{7\pi}{6}\bigr) \displaystyle 2\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{3}+i\sin\tfrac{5\pi}{3}\bigr)

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