Encontre as raízes quadradas de z=3-4 i resolvendo o sistema de equações que surge de (x+y i)^{2}=3-4 i. Mostre todo o desenvolvimento algébrico.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os w = x + yi tais que
(x + yi)^2 = 3 - 4i.
O conteúdo aqui é raiz quadrada de número complexo, e vamos usar expansão, separação em parte real e imaginária e solução de sistema algébrico.

Passo 2

Expandindo o quadrado temos
(x + yi)^2 = x^2 + 2xy\,i + (yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xy\,i.
Logo, igualando a 3 - 4i, obtemos o sistema
\begin{cases} x^2 - y^2 = 3,\\\\ 2xy = -4. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos y:
2xy = -4 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{4}{2x} = -\frac{2}{x},
desde que x\neq0.

Passo 4

Substituímos y = -2/x na primeira equação:
x^2 - \Bigl(-\tfrac{2}{x}\Bigr)^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - \frac{4}{x^2} = 3.
Multiplicando por x^2, obtemos
x^4 - 3x^2 - 4 = 0.

Passo 5

Fazendo a troca u = x^2, o polinômio vira
u^2 - 3u - 4 = 0.
As raízes são
u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2},
isto é, u=4 ou u=-1. Como u=x^2\ge0, fica x^2=4.

Passo 6

Logo x = \pm2. Para cada caso, calculamos y:
  • Se x=2, então
y = -\frac{2}{2} = -1.
  • Se x=-2, então
y = -\frac{2}{-2} = 1.

Passo 7

Assim, as soluções do sistema são
w_1 = 2 - i, \quad w_2 = -2 + i.

Resposta

As raízes quadradas de 3-4i são
2 - i \quad\text{e}\quad -2 + i.

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