\int \frac{\left(x^{3}+2 x^{2}-x+1\right)}{(2 x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1}\,dx.
Trata-se de uma função racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, então a estratégia é fazer divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais um termo simples em (2x+1).

Passo 2

Executamos a divisão de x^{3} + 2x^{2} - x + 1 por 2x+1. O quociente e o resto são:
\frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1} = \frac12 x^{2} + \frac34 x - \frac78 + \frac{\tfrac{15}{8}}{2x+1}.
Ou seja, o numerador se decompõe em
x^{3} + 2x^{2} - x + 1 = \Bigl(\tfrac12x^{2} + \tfrac34x - \tfrac78\Bigr)\,(2x+1) + \tfrac{15}{8}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1}\,dx = \int\Bigl(\tfrac12x^{2} + \tfrac34x - \tfrac78\Bigr)\,dx \;+\;\frac{15}{8}\int \frac{1}{2x+1}\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
a) \displaystyle \int \tfrac12x^{2}\,dx = \tfrac12\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6}.
b) \displaystyle \int \tfrac34x\,dx = \tfrac34\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{8}.
c) \displaystyle \int -\tfrac78\,dx = -\tfrac78\,x.
d) Para \displaystyle \int \frac{1}{2x+1}\,dx, usamos u=2x+1, du=2\,dx, logo
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac12\ln\bigl|2x+1\bigr|.
Multiplicando por \tfrac{15}{8} \displaystyle \frac{15}{8}\cdot\frac12\ln\bigl|2x+1\bigr| = \frac{15}{16}\ln\bigl|2x+1\bigr|.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1}\,dx = \frac{x^{3}}{6} \;+\;\frac{3x^{2}}{8}\;-\;\frac{7x}{8} \;+\;\frac{15}{16}\ln\bigl|2x+1\bigr| + C. }

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