\int \frac{\left(x^{3}+2 x^{2}-x+1\right)}{(2 x+1)} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1}\,dx.
Trata-se de uma função racional em que o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, então a estratégia é fazer divisão de polinômios para obter uma parte polinomial mais um termo simples em (2x+1).
Passo 2
Executamos a divisão de x^{3} + 2x^{2} - x + 1 por 2x+1. O quociente e o resto são:
\frac{x^{3} + 2x^{2} - x + 1}{2x + 1} = \frac12 x^{2} + \frac34 x - \frac78 + \frac{\tfrac{15}{8}}{2x+1}.
Integramos termo a termo:
a) \displaystyle \int \tfrac12x^{2}\,dx = \tfrac12\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{6}.
b) \displaystyle \int \tfrac34x\,dx = \tfrac34\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{3x^{2}}{8}.
c) \displaystyle \int -\tfrac78\,dx = -\tfrac78\,x.
d) Para \displaystyle \int \frac{1}{2x+1}\,dx, usamos u=2x+1, du=2\,dx, logo