Determine quatro transformações lineares de R^3 em R^3 cujos núcleos tenham dimensões 0,1,2 e 3 , respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede transformações T:R^3toR^3 com dimker T=0,1,2,3. Usaremos o teorema do posto-nulidade:
dimker(T)+dimIm(T)=3
Com isso, para cada valor de dimker(T) escolhemos dimIm(T)=3-dimker(T).

Passo 2

Para dimker(T)=0 temos dimIm(T)=3. A identidade
T0(x,y,z)=(x,y,z)
é injetora, então ker T0=(0,0,0) e dimker(T0)=0.

Passo 3

Para dimker(T)=1 queremos dimIm(T)=2. A projeção
T1(x,y,z)=(x,y,0)
satisfaz ker T1=(0,0,z)mid zinR, logo dimker(T1)=1.

Passo 4

Para dimker(T)=2 precisamos dimIm(T)=1. Tomemos
T2(x,y,z)=(x,0,0).
Então ker T2=(0,y,z)mid y,zinR, de dimensão 2.

Passo 5

Para dimker(T)=3 temos dimIm(T)=0. A aplicação nula
T3(x,y,z)=(0,0,0)
tem ker T3=R^3, de dimensão 3.

Resposta

T0(x,y,z)=(x,y,z)
T1(x,y,z)=(x,y,0)
T2(x,y,z)=(x,0,0)
T3(x,y,z)=(0,0,0)

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