Sejam um espaço vetorial sobre e . Mostre que se , então .
Seja e sejam e definidas por e .
(a) Mostre que é uma base de .
(b) Exiba uma base de da qual seja a base dual.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, em qualquer espaço vetorial sobre mostraremos que se um vetor satisfaz
então necessariamente . Isso usa a ideia de estender a uma base de e construir funcional linear que “detecta” .
Depois, no caso concreto (polinômios de grau ), com dadas por
(a) mostraremos que é base de usando dimensão e independência linear;
(b) exibiremos uma base de tal que , ou seja, a base dual de .
Passo 2
(Prova do caso geral) Suponha . Então existe extensão de a uma base de : . Defina por
e estenda linearmente. Nesse caso , logo não é possível ter para todo a menos de . Concluímos então que se para todo , então deve ser o vetor zero.
Passo 3
(Vetores funçãois são base de
Avalie em . Obtemos o sistema linear
Calculando as integrais e vendo que o determinante da matriz dos coeficientes é . Logo é l.i. e, por ter elementos, forma uma base de .
Passo 4
(Construção da base dual) Queremos
Escreva um polinômio genérico . Para cada impomos o sistema
que são três equações lineares em , obtemos:
Verifica-se diretamente que . Portanto é a base de cuja base dual é .
Resposta
Parte geral: Se f(v)=0 para todo fin V^*, então v=0.
(a) Em P2(R), f1,f2,f3 é base de V^*.
(b) A base de V dual a f1,f2,f3 é
l-tfrac32 x^2 + x + 1,;;tfrac12 x^2 - tfrac16,;;-tfrac12 x^2 + x - tfrac13r