Sejam V um espaço vetorial sobre K e v in V. Mostre que se f(v)=0, forall f in V^*, então v=0.
Seja V=P2(R) e sejam f1, f2 e f3 in V^* definidas por
f1(p)=integral0^1 p(x) d x, f2(p)=integral0^2 p(x) d x e f3(p)=integral0^-1 p(x) d x.
(a) Mostre que f1, f2, f3 é uma base de V^*.
(b) Exiba uma base de V da qual f1, f2, f3 seja a base dual.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, em qualquer espaço vetorial V sobre K mostraremos que se um vetor vin V satisfaz
f(v)=0, forall fin V^*,
então necessariamente v=0. Isso usa a ideia de estender v a uma base de V e construir funcional linear que “detecta” v.
Depois, no caso concreto V=P2(R) (polinômios de grau <=2), com f1,f2,f3in V^* dadas por
f1(p)=integral0^1p(x),dx, f2(p)=integral0^2p(x),dx, f3(p)=integral0^-1p(x),dx,
(a) mostraremos que f1,f2,f3 é base de V^* usando dimensão e independência linear;
(b) exibiremos uma base p1,p2,p3 de V tal que fi(pj)=de<aij, ou seja, a base dual de f1,f2,f3.

Passo 2

(Prova do caso geral) Suponha vneq0. Então existe extensão de v a uma base de V: v,e2,dots,en. Defina fin V^* por
f(v)=1, f(ek)=0 (k>=2),
e estenda linearmente. Nesse caso f(v)=1neq0, logo não é possível ter f(v)=0 para todo fin V^* a menos de v=0. Concluímos então que se f(v)=0 para todo f, então v deve ser o vetor zero.

Passo 3

(Vetores funçãois são base de
Avalie em . Obtemos o sistema linear
Calculando as integrais e vendo que o determinante da matriz dos coeficientes é . Logo é l.i. e, por ter elementos, forma uma base de .

Passo 4

(Construção da base dual) Queremos
Escreva um polinômio genérico . Para cada impomos o sistema
que são três equações lineares em , obtemos:
Verifica-se diretamente que . Portanto é a base de cuja base dual é .

Resposta

Parte geral: Se f(v)=0 para todo fin V^*, então v=0.
(a) Em P2(R), f1,f2,f3 é base de V^*.
(b) A base de V dual a f1,f2,f3 é
l-tfrac32 x^2 + x + 1,;;tfrac12 x^2 - tfrac16,;;-tfrac12 x^2 + x - tfrac13r

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