Seja T: P2(R) P2(R) a função dada por
T(a, b, c)B=(2 c-2 b, a+c, a+b+c)C
onde C ’ a base 1, x, x^2 e B ra-base 1, x+x^2, 1+x^2.
(a) Verflque que T é uma transformação linear.
(b) Calcule [T(2-x^2)]B e [T(2-x^2)]C.
(c) Existe um vetor u in P2(R) não nulo tal que T(u)=u ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define
;TcolonP2(R)toP2(R)
por meio das coordenadas em duas bases: a base de chegada C=1,x,x^2 e a base de partida B=1,x+x^2,1+x^2.
Ele pede:
(a) verificar que T é linear;
(b) calcular l[T(2-x^2)r]B e l[T(2-x^2)r]C;
(c) ver se existe vetor não-nulo com T(u)=u.
Conteúdos usados: linearidade de operadores, mudança de base, fixos de transformação.

Passo 2

Para ver que T é linear basta notar que, se (a,b,c) são as coordenadas de um polinômio p em B, então
T(a,b,c)C = (2c-2b,;a+c,;a+b+c)
é uma combinação linear de (a,b,c). Logo para quaisquer escalares lambda,mu e vetores (ai,bi,ci),
Tl(lambda(a1,b1,c1)+mu(a2,b2,c2)r) =lambda,T(a1,b1,c1)+mu,T(a2,b2,c2),
provando a linearidade.

Passo 3

Para achar l[2-x^2r]B, escrevemos
acdot1 + b(x+x^2) + c(1+x^2) = 2 - x^2
e igualamos coeficientes:
a + c = 2, b = 0, b + c = -1
Daí b=0, c=-1 e a=3. Portanto
l[2-x^2r]B = (3,0,-1)

Passo 4

Aplicando T a (3,0,-1) obtemos em C:
l[T(2-x^2)r]C =(2c-2b,;a+c,;a+b+c) =(2cdot(-1)-0,;3+(-1),;3+0+(-1)) = (-2,2,2)

Passo 5

Para escrever -2+2x+2x^2 em B suponha
alphacdot1 + beta(x+x^2) + gamma(1+x^2) = -2 + 2x + 2x^2
e iguale coeficientes:
alpha + gamma = -2, beta = 2, beta + gamma = 2
Isso dá beta=2, gamma=0, alpha=-2. Logo
l[T(2-x^2)r]B = (-2,2,0)

Passo 6

Procuramos (a,b,c)neq(0,0,0) tais que T(a,b,c)=u igual ao próprio vetor u. Em coordenadas C o vetor u sai de B como (a+c,b,b+c). Impor
(2c-2b,;a+c,;a+b+c) = (a+c,;b,;b+c)
gera o sistema
2c-2b = a+c, a+c = b, a+b+c = b+c
Dessa forma a=0, b=c=0. A única solução é trivial, logo não há vetor não-nulo com T(u)=u.

Resposta

(a) T é linear.
(b) l[T(2-x^2)r]B = (-2,2,0), l[T(2-x^2)r]C = (-2,2,2).
(c) Não existe vetor uneq 0 tal que T(u)=u.

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