Seja
a função dada por
onde
’ a base
e
ra-base
.
(a) Verflque que
é uma transformação linear.
(b) Calcule
e
.
(c) Existe um vetor
não nulo tal que
? Justifique sua resposta.
(a) Verflque que
(b) Calcule
(c) Existe um vetor
Passo 1
O enunciado define
por meio das coordenadas em duas bases: a base de chegada e a base de partida
.
Ele pede:
(a) verificar que é linear;
(b) calcular e
;
(c) ver se existe vetor não-nulo com .
Conteúdos usados: linearidade de operadores, mudança de base, fixos de transformação.
por meio das coordenadas em duas bases: a base de chegada
Ele pede:
(a) verificar que
(b) calcular
(c) ver se existe vetor não-nulo com
Conteúdos usados: linearidade de operadores, mudança de base, fixos de transformação.
Passo 2
Para ver que
é linear basta notar que, se
são as coordenadas de um polinômio
em
, então
é uma combinação linear de
. Logo para quaisquer escalares
e vetores
,
provando a linearidade.
Passo 3
Para achar
, escrevemos
e igualamos coeficientes:
Daí
,
e
. Portanto
Passo 4
Aplicando
a
obtemos em
:
Passo 5
Para escrever
em
suponha
e iguale coeficientes:
Isso dá
,
,
. Logo
Passo 6
Procuramos
tais que
igual ao próprio vetor
. Em coordenadas
o vetor
sai de
como
. Impor
gera o sistema
Dessa forma
,
. A única solução é trivial, logo não há vetor não-nulo com
.
Resposta
(a)
é linear.
(b) ,
.
(c) Não existe vetor tal que
.
(b)
(c) Não existe vetor