Mostre que uma função T: K^n K é uma transformação linear se e somente se existirem a1, cdots, an in K tais que
T(x1, cdots, xn)=sumi=1^n ai xi

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a seguinte equivalência:
“Uma aplicação T:K^ntoK é linear se, e somente se, existem escalares a1,dots,aninK tais que, para todo (x1,dots,xn)inK^n,
T(x1,dots,xn)=sumi=1^n ai,xi

Aqui vamos usar a definição de transformação linear (adicatividade + homogeneidade) e a base canônica
e1,dots,en de K^n.

Passo 2

( to) Suponha que T seja linear. Definimos
ai = T(ei), i=1,dots,n,
onde ei é o vetor com 1 na posição i e 0 nas demais.
Dado um vetor arbitrário x=(x1,dots,xn), podemos escrever
x = sumi=1^n xi,ei
Pela linearidade de T (adição e homogeneidade),
T(x) = Tl(sumi=1^n xi,eir) = sumi=1^n xi,T(ei) = sumi=1^n xi,ai
Isso mostra que toda transformação linear em K^n tem a forma desejada.

Passo 3

(\leftarrow) Agora suponha que existam a1,dots,aninK tais que
T(x1,dots,xn) = sumi=1^n ai,xi
Para verificar que T é linear, checamos aditividade e homogeneidade:
1. Adição: sejam x=(xi) e y=(yi). Então
T(x+y) = sumi=1^n ai,(xi+yi) = sumi=1^n ai,xi + sumi=1^n ai,yi = T(x) + T(y)
2. Homogeneidade: para lambdainK,
T(lambda x) = sumi=1^n ai,(lambda xi) = lambda sumi=1^n ai,xi = lambda,T(x)
Logo T satisfaz as duas condições de linearidade.

Resposta

Mostramos ambas as direções, portanto T é linear se, e somente se, há escalares a1,dots,an tais que
T(x1,dots,xn)=sumi=1^n ai,xi

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