Mostre que uma função
é uma transformação linear se e somente se existirem
tais que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a seguinte equivalência:
“Uma aplicação é linear se, e somente se, existem escalares
tais que, para todo
,
“Uma aplicação
”
Aqui vamos usar a definição de transformação linear (adicatividade homogeneidade) e a base canônica
de
.
Aqui vamos usar a definição de transformação linear (adicatividade
Passo 2
(
) Suponha que
seja linear. Definimos
onde
é o vetor com
na posição
e
nas demais.
Dado um vetor arbitrário , podemos escrever
Dado um vetor arbitrário
Pela linearidade de
(adição e homogeneidade),
Isso mostra que toda transformação linear em
tem a forma desejada.
Passo 3
(\leftarrow) Agora suponha que existam
tais que
Para verificar que
é linear, checamos aditividade e homogeneidade:
Logo
satisfaz as duas condições de linearidade.
Resposta
Mostramos ambas as direções, portanto
é linear se, e somente se, há escalares
tais que