Determine, nas questões abaixo, qual a região onde a função é contínua. Justifique a resposta. f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar a região do plano em que a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é contínua e justificar.
Informações dadas: a expressão da função e que o denominador é \,x^{2}+y^{2}\,. Note que quando \,x^{2}+y^{2}=0\, o denominador se anula (isso só ocorre em um ponto). A resolução começa a partir dessas observações.
Passo 2
Primeiro fato útil (explicado de forma simples): polinômios em x,y são funções contínuas em todo o plano; quociente de duas funções contínuas é contínuo em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Aqui o numerador \,x^{2}y\, é um polinômio (logo contínuo) e o denominador \,x^{2}+y^{2}\, também é um polinômio (logo contínuo).
Passo 3
Aplicando o fato do passo anterior: para qualquer ponto (a,b) tal que \,a^{2}+b^{2}\neq 0\, (ou seja, qualquer ponto diferente da origem), o denominador não é zero e, portanto, a razão \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
é contínua em (a,b). Concluímos então que f é contínua em todo ponto do plano exceto possivelmente na origem (0,0).
Passo 4
Agora olhamos para a origem (0,0). A função original não está definida em (0,0) porque o denominador se anula ali; portanto, tal como está, f não pode ser contínua em (0,0). Ainda assim, é útil verificar se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe (isso diz se é possível estender f continuamente no ponto).
Passo 5
Para calcular o limite ao aproximar a origem, é prático usar coordenadas polares. Seja \,x=r\cos\theta\,,\;y=r\sin\theta com r\ge 0. Substituindo na função:
Observe que |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1 para todo \theta. Logo
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right| =|r\cos^{2}\theta\sin\theta|\le r.
Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^{+}. Pelo teorema do aperto (squeeze theorem), como |f(x,y)|\le r e r\to 0, segue que f(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Ou seja, o limite existe e é 0.
Passo 7
Resumo lógico final: para todo ponto diferente da origem a função é contínua (porque é quociente de polinômios com denominador não nulo). Em (0,0) a função não está definida, então não é contínua aí; entretanto o limite quando (x,y)\to(0,0) é 0, portanto podemos estender f continuamente definindo f(0,0)=0, se isso for desejado.
Resposta
A função é contínua em \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.