Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio 6 x^4 - x^3 + 3 x^2 - x + 1 pelo polinômio 2x^2 + x - 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de divisão de polinômios! A gente precisa encontrar o quociente e o resto quando dividimos o polinômio pelo polinômio . Para isso, vamos usar o método da divisão longa de polinômios, que é bem parecido com a divisão que a gente fez na escola, mas com termos envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos dos polinômios em ordem decrescente de grau (isso ajuda a visualizar melhor). Nosso dividendo já está organizado: . O divisor também está em ordem: .

Passo 3

Agora, vamos começar a divisão. A gente olha para o primeiro termo do dividendo ( ) e o primeiro termo do divisor ( ). A pergunta é: quanto eu tenho que multiplicar para chegar em ? A resposta é , porque .

Passo 4

Esse que a gente encontrou é o primeiro termo do nosso quociente .

Passo 5

Agora, a gente multiplica o divisor inteiro por :

Passo 6

Em seguida, a gente subtrai esse resultado do dividendo original:
Agora, nosso novo dividendo é .

Passo 7

Repetimos o processo: pegamos o primeiro termo do novo dividendo ( ) e dividimos pelo primeiro termo do divisor ( ). Quanto multiplicamos para chegar em ? É , porque .

Passo 8

Esse é o próximo termo do quociente . Então, até agora, .

Passo 9

Multiplicamos o divisor por :

Passo 10

Subtraímos esse resultado do novo dividendo:
Agora, nosso dividendo é .

Passo 11

Mais uma vez, pegamos o primeiro termo do dividendo ( ) e dividimos pelo primeiro termo do divisor ( ). Quanto multiplicamos para chegar em ? É , porque .

Passo 12

Esse é o último termo do quociente . Agora, .

Passo 13

Multiplicamos o divisor por :

Passo 14

Subtraímos esse resultado do dividendo atual:
Agora, nosso dividendo é , que tem grau menor que o divisor . Isso significa que paramos aqui, e esse é o nosso resto .

Resposta

O quociente é e o resto é .

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