Qual(is) das integrais abaixo são impróprias?
integral1^2 ln (x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar se a integral integral1^2 ln (x-1) , dx é imprópria. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Vamos precisar entender quando uma integral é considerada imprópria e analisar os limites de integração e o comportamento da função dentro desses limites.

Passo 2

Primeiro, o que é uma integral imprópria? Uma integral é dita imprópria quando acontece alguma coisa que impede de calcular a área de forma direta: pode ser porque os limites de integração são infinitos ou porque a função que estamos integrando tem algum ponto onde ela não está bem definida (como um ponto de descontinuidade) dentro do intervalo de integração.

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada na nossa integral: integral1^2 ln (x-1) , dx. O intervalo de integração vai de 1 a 2, e a função que estamos integrando é ln (x-1). Precisamos verificar se nessa faixa de 1 a 2, a função ln (x-1) está bem comportada ou se tem algum ponto problemático.

Passo 4

Vamos analisar a função ln (x-1). O logaritmo natural, ln(y), está definido apenas para valores de y maiores que 0. Então, para ln (x-1) estar definido, precisamos que x-1 > 0, ou seja, x > 1. Olha só, nosso intervalo de integração começa exatamente em x = 1, onde x-1 = 0, o que faz com que ln (x-1) não esteja definido nesse ponto. Além disso, conforme nos aproximamos de x = 1 a partir da direita, ln (x-1) tende a -infty. Isso indica que temos uma descontinuidade no limite inferior do intervalo.

Passo 5

Como temos uma descontinuidade na função dentro do intervalo de integração (no ponto x = 1), a integral integral1^2 ln (x-1) , dx é considerada imprópria. Precisamos tratar isso com limites para calcular, já que a integral não pode ser avaliada diretamente nesse intervalo.

Resposta

A integral integral1^2 ln (x-1) , dx é imprópria.

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