Qual(is) das integrais abaixo são impróprias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente identificar se a integral
é imprópria. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Vamos precisar entender quando uma integral é considerada imprópria e analisar os limites de integração e o comportamento da função dentro desses limites.
Passo 2
Primeiro, o que é uma integral imprópria? Uma integral é dita imprópria quando acontece alguma coisa que impede de calcular a área de forma direta: pode ser porque os limites de integração são infinitos ou porque a função que estamos integrando tem algum ponto onde ela não está bem definida (como um ponto de descontinuidade) dentro do intervalo de integração.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada na nossa integral:
. O intervalo de integração vai de 1 a 2, e a função que estamos integrando é
. Precisamos verificar se nessa faixa de 1 a 2, a função
está bem comportada ou se tem algum ponto problemático.
Passo 4
Vamos analisar a função
. O logaritmo natural,
, está definido apenas para valores de
maiores que 0. Então, para
estar definido, precisamos que
, ou seja,
. Olha só, nosso intervalo de integração começa exatamente em
, onde
, o que faz com que
não esteja definido nesse ponto. Além disso, conforme nos aproximamos de
a partir da direita,
tende a
. Isso indica que temos uma descontinuidade no limite inferior do intervalo.
Passo 5
Como temos uma descontinuidade na função dentro do intervalo de integração (no ponto
), a integral
é considerada imprópria. Precisamos tratar isso com limites para calcular, já que a integral não pode ser avaliada diretamente nesse intervalo.
Resposta
A integral
é imprópria.