Seja
. Seja C o círculo
no plano
orientado no sentido anti-horário e
o disco
orientado com vetor normal
. Determine:
(a) A integral de
sobre
.
(a) A integral de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e um disco
definido por
no plano
, com a orientação dada pelo vetor normal
. A tarefa é calcular a integral de
sobre
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfícies, especificamente a integral de superfície de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de um campo vetorial sobre uma superfície. A integral de superfície de
sobre
, denotada por
, representa a soma do produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície em cada ponto, multiplicado pela área infinitesimal
.
Passo 3
No nosso caso, a superfície
está no plano
e o vetor normal é
, que é
. Então, o produto escalar
fica:
Passo 4
Agora, vamos notar que a superfície
está no plano
. Isso significa que, para qualquer ponto em
, o valor de
é igual a 0. Portanto, substituindo
na expressão que encontramos:
Passo 5
Com isso, a integral de superfície simplifica bastante. Já que
em toda a superfície
, a integral inteira será:
Resposta
A integral de
sobre
é igual a
.