Seja F(x, y, z) = x^2 i + (2xy + x) j + z k. Seja C o círculo x^2 + y^2 = 1 no plano z = 0 orientado no sentido anti-horário e S o disco x^2 + y^2 <= 1 orientado com vetor normal k. Determine:
(a) A integral de F sobre S.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e um disco S definido por no plano z = 0, com a orientação dada pelo vetor normal k. A tarefa é calcular a integral de F sobre S. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfícies, especificamente a integral de superfície de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a integral de um campo vetorial sobre uma superfície. A integral de superfície de F sobre S, denotada por , representa a soma do produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície em cada ponto, multiplicado pela área infinitesimal .

Passo 3

No nosso caso, a superfície S está no plano z = 0 e o vetor normal é , que é . Então, o produto escalar fica:

Passo 4

Agora, vamos notar que a superfície S está no plano z = 0. Isso significa que, para qualquer ponto em S, o valor de z é igual a 0. Portanto, substituindo z = 0 na expressão que encontramos:

Passo 5

Com isso, a integral de superfície simplifica bastante. Já que em toda a superfície S, a integral inteira será:

Resposta

A integral de F sobre S é igual a 0.

Exercícios relacionados