Derive termo a termo a série encontrada na parte (a), a fim de achar uma representação em série de potências para
Passo 1
Estamos querendo encontrar uma série de potências para , derivando termo a termo a série de . O conteúdo é derivação de séries de potências, e vamos precisar da série geométrica de e da regra de derivação term a term.
Passo 2
Começamos pela série de . Usando a expansão geométrica com , obtemos
Passo 3
Como a série converge uniformemente em , podemos derivar termo a termo. A derivada do lado esquerdo é
e a do lado direito é
Passo 4
Note que para o termo é zero, então podemos reescrever a soma começando em . Dessa forma chegamos à representação final.