Derive termo a termo a série encontrada na parte (a), a fim de achar uma representação em série de potências para -3 x^2(1+x^3)^2

Passo 1

Estamos querendo encontrar uma série de potências para -3x^2/(1+x^3)^2, derivando termo a termo a série de 1/(1+x^3). O conteúdo é derivação de séries de potências, e vamos precisar da série geométrica de 1/(1+x^3) e da regra de derivação term a term.

Passo 2

Começamos pela série de 1/(1+x^3). Usando a expansão geométrica 1/(1+t)=sumn=0^infty(-1)^n t^n com t=x^3, obtemos
11+x^3=sumn=0^infty(-1)^n x^3n

Passo 3

Como a série converge uniformemente em |x|<1, podemos derivar termo a termo. A derivada do lado esquerdo é
ddxl(11+x^3r)=-3x^2(1+x^3)^2,
e a do lado direito é
ddxsumn=0^infty(-1)^n x^3n=sumn=0^infty(-1)^n,3n,x^3n-1

Passo 4

Note que para n=0 o termo 3n x^3n-1 é zero, então podemos reescrever a soma começando em n=1. Dessa forma chegamos à representação final.

Resposta

-3x^2(1+x^3)^2=sumn=1^infty(-1)^n,3n,x^3n-1,|x|<1

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