Determine a equação das hipérboles, que satisfaçam as condições dadas:
Focos(0, stackrel pm- 4) e vértices (0, stackrel pm- 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os focos em (0, pm4) e os vértices em (0, pm1). Esse problema está na área de Geometria Analítica, especificamente estudando as propriedades das hipérboles. Vamos precisar lembrar das fórmulas básicas das hipérboles e como identificar seus parâmetros a partir dos pontos fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar alguns detalhes importantes. Os focos estão em (0, pm4) e os vértices em (0, pm1). Isso significa que a hipérbole está “aberta” para cima e para baixo, ou seja, é uma hipérbole vertical. A forma geral da equação de uma hipérbole vertical é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde (h, k) é o centro da hipérbole.

Passo 3

Vamos encontrar o centro da hipérbole. Como os focos e os vértices são simétricos em relação à origem, o centro está no ponto (0, 0). Então h = 0 e k = 0, simplificando a equação para:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de a e c. O valor de a é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão em (0, pm1), temos a = 1.
O valor de c é a distância do centro aos focos. Como os focos estão em (0, pm4), temos c = 4.
Sabemos que nas hipérboles, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores que temos:
4^2 = 1^2 + b^2 16 = 1 + b^2 b^2 = 15

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^21 - x^215 = 1

Exercícios relacionados