Determine a equação das hipérboles, que satisfaçam as condições dadas:
e vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem os focos em
e os vértices em
. Esse problema está na área de Geometria Analítica, especificamente estudando as propriedades das hipérboles. Vamos precisar lembrar das fórmulas básicas das hipérboles e como identificar seus parâmetros a partir dos pontos fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar alguns detalhes importantes. Os focos estão em
e os vértices em
. Isso significa que a hipérbole está “aberta” para cima e para baixo, ou seja, é uma hipérbole vertical. A forma geral da equação de uma hipérbole vertical é:
Onde
é o centro da hipérbole.
Passo 3
Vamos encontrar o centro da hipérbole. Como os focos e os vértices são simétricos em relação à origem, o centro está no ponto
. Então
e
, simplificando a equação para:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. O valor de
é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão em
, temos
.
O valor de
é a distância do centro aos focos. Como os focos estão em
, temos
.
Sabemos que nas hipérboles, a relação entre
,
e
é:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A equação da hipérbole é: