Determine o raio do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz b dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir qual é o raio de um cone circular reto que tem o volume máximo, sabendo que a geratriz $ b $ do cone é fixa. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre cones e um pouco de cálculo para otimizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como um cone funciona. Um cone circular reto tem três dimensões principais: o raio da base $ r $, a altura $ h $ e a geratriz $ b $. A geratriz é a “inclinação” do cone, que conecta o vértice à borda da base. Esses três elementos estão relacionados pela fórmula do teorema de Pitágoras:
r

Passo 3

Agora, queremos maximizar o volume do cone. A fórmula do volume $ V $ de um cone é dada por:
V
Nosso objetivo é expressar o volume apenas em termos do raio $ r $ e depois encontrar o valor de $ r $ que maximiza esse volume.

Passo 4

Vamos usar a relação entre $ b $, $ r $ e $ h $ para expressar $ h $ em função de $ r $:
b

Passo 5

Substituindo essa expressão de $ h $ na fórmula do volume, temos:
h

Passo 6

Para encontrar o valor de $ r $ que maximiza $ V $, vamos derivar $ V $ em relação a $ r $ e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto de máximo.
Primeiro, derivamos $ V $:
r
Simplificando:
V

Passo 7

Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
2r raizb^2 - r^2 - r^3raizb^2 - r^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{b^2 - r^2} $:
raizb^2 - r^2
Simplificando:
2r (b^2 - r^2) - r^3 = 0

Passo 8

Desconsiderando a solução trivial $ r = 0 $, temos:
r = 0

Resposta

O raio do cone que maximiza o volume, dado a geratriz $ b $, é:
b

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