Determine o raio do cone circular reto, de volume máximo, com geratriz
dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir qual é o raio de um cone circular reto que tem o volume máximo, sabendo que a geratriz $ b $ do cone é fixa. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria sobre cones e um pouco de cálculo para otimizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como um cone funciona. Um cone circular reto tem três dimensões principais: o raio da base $ r $, a altura $ h $ e a geratriz $ b $. A geratriz é a “inclinação” do cone, que conecta o vértice à borda da base. Esses três elementos estão relacionados pela fórmula do teorema de Pitágoras:
Passo 3
Agora, queremos maximizar o volume do cone. A fórmula do volume $ V $ de um cone é dada por:
Nosso objetivo é expressar o volume apenas em termos do raio $ r $ e depois encontrar o valor de $ r $ que maximiza esse volume.
Passo 4
Vamos usar a relação entre $ b $, $ r $ e $ h $ para expressar $ h $ em função de $ r $:
Passo 5
Substituindo essa expressão de $ h $ na fórmula do volume, temos:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ r $ que maximiza $ V $, vamos derivar $ V $ em relação a $ r $ e igualar a derivada a zero. Isso nos dará o ponto de máximo.
Primeiro, derivamos $ V $:
Simplificando:
Passo 7
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{b^2 - r^2} $:
Simplificando:
Passo 8
Desconsiderando a solução trivial $ r = 0 $, temos:
Resposta
O raio do cone que maximiza o volume, dado a geratriz $ b $, é: