Uma escada de 10 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de
, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 6 m da parede?
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma escada de 10 metros encostada em uma parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade constante de
. Queremos descobrir com que velocidade a parte de cima da escada está descendo quando a base está a 6 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo relacionado a taxas relacionadas (derivadas relacionadas), que nos ajuda a encontrar como duas grandezas estão mudando em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa representa a escada, que tem comprimento fixo de 10 metros.
- Um dos catetos representa a distância da base da escada até a parede, que varia com o tempo e vamos chamar de
. - O outro cateto representa a altura da escada na parede, que também varia com o tempo e vamos chamar de
.
Passo 3
Sabemos que, de acordo com o Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo:
Isso porque a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Passo 4
Como
e
são funções do tempo, podemos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Aqui,
é a velocidade com que a base da escada está se afastando (dada como
), e
é a velocidade com que a parte de cima da escada está descendo (o que queremos encontrar).
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 7
Queremos isolar
:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar o valor de
quando
. Usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 9
Substituindo os valores conhecidos na equação para
:
Resposta
A extremidade superior da escada está descendo a uma velocidade de
quando a base está a 6 metros da parede.