Uma escada de 10 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m / s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 6 m da parede?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma escada de 10 metros encostada em uma parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade constante de 2 , m/s. Queremos descobrir com que velocidade a parte de cima da escada está descendo quando a base está a 6 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo relacionado a taxas relacionadas (derivadas relacionadas), que nos ajuda a encontrar como duas grandezas estão mudando em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa representa a escada, que tem comprimento fixo de 10 metros.
  • Um dos catetos representa a distância da base da escada até a parede, que varia com o tempo e vamos chamar de x(t).
  • O outro cateto representa a altura da escada na parede, que também varia com o tempo e vamos chamar de y(t).

Passo 3

Sabemos que, de acordo com o Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo:
x(t)^2 + y(t)^2 = 10^2
Isso porque a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Passo 4

Como x(t) e y(t) são funções do tempo, podemos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t:
ddt [x(t)^2 + y(t)^2] = ddt [100]

Passo 5

Calculando as derivadas:
2x(t) dxdt + 2y(t) dydt = 0
Aqui, dxdt é a velocidade com que a base da escada está se afastando (dada como 2 , m/s), e dydt é a velocidade com que a parte de cima da escada está descendo (o que queremos encontrar).

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
x(t) dxdt + y(t) dydt = 0

Passo 7

Queremos isolar dydt:
y(t) dydt = -x(t) dxdt
dydt = -x(t)y(t) cdot dxdt

Passo 8

Agora, precisamos encontrar o valor de y(t) quando x(t) = 6 , m. Usando o Teorema de Pitágoras:
6^2 + y^2 = 10^2
36 + y^2 = 100
y^2 = 64
y(t) = 8 , m

Passo 9

Substituindo os valores conhecidos na equação para dydt:
dydt = -68 cdot 2
dydt = -128
dydt = -1,5 , m/s

Resposta

A extremidade superior da escada está descendo a uma velocidade de 1,5 , m/s quando a base está a 6 metros da parede.

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