Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

Passo 1

O enunciado apresenta uma função definida por partes,
f(x)= x+2,&se x<=-1, x^2,&se x>-1
Estamos estudando funções definidas por partes e precisamos encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para obter o domínio, observamos que ambas as expressões x+2 e x^2 estão definidas para qualquer xinR. Como não há restrição adicional, o domínio é
(-infty,infty)

Passo 3

Para achar a imagem, analisamos cada ramo separadamente:
  • Para x<=-1, f(x)=x+2. Com x variando em ( -infty,-1], temos x+2 variando em ( -infty,1].
  • Para x>-1, f(x)=x^2. Com x em (-1,infty), a parábola assume valores em [0,infty).
    Unindo os dois intervalos de valores, a imagem é
(-infty,1]cup[0,infty)=(-infty,infty)

Passo 4

No gráfico, temos duas curvas:
  • Uma reta de equação y=x+2 para x<=-1, com ponto fechado em (-1,1).
  • A parábola y=x^2 para x>-1, com ponto aberto em (-1,1) e crescendo para a direita e para a esquerda (mas excluindo x=-1).
    Marque claramente o ponto fechado e o ponto aberto em (-1,1) para mostrar a definição por partes.

Resposta

Domínio: (-∞,∞)
Imagem: (-∞,∞)
Gráfico: reta y=x+2 para x≤-1 (ponto fechado em (-1,1)) e parábola y=x² para x>-1 (ponto aberto em (-1,1)).

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