Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado apresenta uma função definida por partes,
Estamos estudando funções definidas por partes e precisamos encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico.
Passo 2
Para obter o domínio, observamos que ambas as expressões
e
estão definidas para qualquer
. Como não há restrição adicional, o domínio é
Passo 3
Para achar a imagem, analisamos cada ramo separadamente:
- Para
, . Com variando em , temos variando em . - Para
, . Com em , a parábola assume valores em .
Unindo os dois intervalos de valores, a imagem é
Passo 4
No gráfico, temos duas curvas:
- Uma reta de equação
para , com ponto fechado em . - A parábola
para , com ponto aberto em e crescendo para a direita e para a esquerda (mas excluindo ).
Marque claramente o ponto fechado e o ponto aberto empara mostrar a definição por partes.
Resposta
Domínio: (-∞,∞)
Imagem: (-∞,∞)
Gráfico: reta y=x+2 para x≤-1 (ponto fechado em (-1,1)) e parábola y=x² para x>-1 (ponto aberto em (-1,1)).