Determine o raio de convergência de cada uma das séries de potências.
sumn=0^infty 2^n(x-1)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências centrada em x=1:
sumn=0^infty2^n(x-1)^n
O conteúdo aqui é encontrar o raio de convergência de uma série de potências; para isso vamos usar o teste da razão (ou o teste da raiz).

Passo 2

Denotando o termo geral por an = 2^n(x-1)^n, aplicamos o teste da razão:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|2^n+1(x-1)^n+12^n(x-1)^n| =2,|x-1|
A série converge se esse limite for menor que 1.

Passo 3

Impondo a condição de convergência:
2,|x-1|<1
isso equivale a
|x-1|<tfrac12

Passo 4

Da desigualdade |x-1|<tfrac12 vemos que o raio de convergência da série é
R = tfrac12

Resposta

O raio de convergência é R=tfrac12.

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