( 1,5 pontos) Prove usando as definições: para vetores a, b, c in R^3,
a times(b times c)=lang<= a, crang<= b-lang<= a, brang<= c

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade do triplo produto vetorial em R^3,
atimes(btimes c)=lang<= a,crang<=,b-lang<= a,brang<=,c,
usando as definições de produto interno e produto vetorial. Vamos precisar também da identidade envolvendo o símbolo de Levi–Civita.

Passo 2

Definimos o produto interno e o produto vetorial por componentes, bem como a identidade de Levi–Civita:
lang<= a,brang<= = sumi=1^3ai,bi
(atimes b)i = sumj,k=1^3varepsiloni j k,aj,bk
varepsiloni r s,varepsilons p q = de<ai p,de<ar q;-;de<ai q,de<ar p,
onde varepsilonijk é o símbolo de Levi–Civita e de<aij o delta de Kronecker.

Passo 3

Vamos calcular a componente i de atimes(btimes c). Primeiro, note que
(btimes c)s = sump,q=1^3varepsilons p q,bp,cq
Então
(atimes(btimes c))i = sumr,s=1^3varepsiloni r s,ar,(btimes c)s = sumr,s,p,qvarepsiloni r s,varepsilons p q,ar,bp,cq

Passo 4

Aplicando a identidade de Levi–Civita
varepsiloni r s,varepsilons p q = de<ai p,de<ar q-de<ai q,de<ar p,
temos
(atimes(btimes c))i = sumr,p,ql(de<ai p,de<ar q-de<ai q,de<ar pr),ar,bp,cq
Separe em dois somatórios:
sumr,p,qde<ai p,de<ar q,ar,bp,cq = sumr,qar,cq,bi,de<ar q = bisumrar,cr = bi,lang<= a,crang<=,
sumr,p,qde<ai q,de<ar p,ar,bp,cq = sumr,par,bp,ci,de<ar p = cisumrar,br = ci,lang<= a,brang<=
Logo,
(atimes(btimes c))i = bi,lang<= a,crang<= ;-; ci,lang<= a,brang<=

Resposta

atimes(btimes c)=lang<= a,crang<=,b-lang<= a,brang<=,c

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